"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Распределительное свойство позволяет заменить умножение числа на сумму сложением отдельных произведений. Например, вместо 7 · 23 можно вычислить 7 · (20 + 3), а затем сложить результаты. Это свойство помогает считать удобнее, раскрывать скобки в выражениях и решать уравнения. Главное правило: внешний множитель умножается на каждое слагаемое, а знаки слагаемых сохраняются. Применять свойство можно и в обратную сторону.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределительное свойство умножения относительно сложения — произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое. Например, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2. Свойство позволяет заменить одно действие несколькими и выбрать удобный способ вычисления.
Множитель — число или выражение, на которое умножают сумму, чтобы применить распределительное свойство. В записи 5(x + 2) множителем служит 5, а сумма записана в скобках. Умение находить множитель помогает понять, на что именно нужно умножить каждое слагаемое.
Раскрытие скобок — преобразование произведения числа и суммы в сумму произведений. Например, 2(a + 3) превращается в 2a + 6. Это действие используют, когда нужно убрать скобки и упростить выражение или уравнение.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное преобразование суммы произведений в произведение множителя и суммы. Например, 4x + 4y = 4(x + y). Оно помогает компактно записать выражение и увидеть, какие части в слагаемых совпадают.
Сумма внутри скобок складывается из отдельных слагаемых. Умножить число на такую сумму — значит взять несколько одинаковых групп: число групп задаёт множитель, а в каждой группе есть каждое слагаемое. Поэтому сначала можно умножить множитель на каждое слагаемое отдельно, а потом сложить полученные произведения. Например, 3 · (4 + 2) — это три группы по 4 и три группы по 2, то есть 12 + 6.
Если множитель стоит перед скобками, получаем a(b + c) = ab + ac: число a умножается и на b, и на c. Если в скобках стоит сумма, умножаемая на число c, результат будет (a + b)c = ac + bc. Эти записи выражают одно и то же правило, хотя множитель расположен по-разному. Переместительное свойство умножения позволяет записать произведения в удобном порядке: b · c и c · b имеют одинаковое значение.
Чтобы раскрыть скобки, найди внешний множитель и по очереди умножь его на каждый член суммы. Затем запиши полученные произведения, сохранив порядок слагаемых и их знаки: 4(2x + 3) = 4 · 2x + 4 · 3 = 8x + 12. Если внутри скобок стоит вычитание, второе слагаемое имеет знак минус: 4(2x − 3) = 8x − 12. Можно считать −3 отдельным слагаемым, поэтому знак не исчезает.
Свойство работает и в обратном направлении: если у нескольких слагаемых есть общий множитель, его можно вынести перед скобками. В выражении 5a + 5b обе части содержат множитель 5, поэтому 5a + 5b = 5(a + b). В скобках остаются множители, которые получились после деления каждого слагаемого на общий множитель. Проверить себя просто: раскрой новые скобки и убедись, что получилось исходное выражение.
Для устного счёта число иногда удобно разложить на сумму разрядных или близких чисел. Например, 8 · 19 проще вычислить как 8 · (20 − 1) = 160 − 8 = 152. В буквенном выражении распределительное свойство помогает раскрыть скобки, а затем объединить подобные слагаемые: части с одинаковой буквенной частью можно складывать или вычитать. Так выражение становится короче и понятнее.
| Случай | Запись | Действие | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение числа на сумму | a(b + c) = ab + ac | Раскрыть скобки | 7(20 + 3) = 7·20 + 7·3 |
| Умножение суммы на число | (a + b)c = ac + bc | Умножить каждый член суммы | (5 + 2)·4 = 5·4 + 2·4 |
| Вынесение общего множителя | ab + ac = a(b + c) | Свернуть сумму произведений | 6x + 6y = 6(x + y) |
Сначала определи, что дано: произведение с суммой в скобках или сумма произведений. В первом случае раскрывай скобки, во втором ищи общий множитель для всех слагаемых. Подставь числа или буквы из примера и проверь, что преобразование сохраняет значение выражения.
Задача 1. Вычислить удобным способом: 7 · 23. Число 23 удобно представить как сумму круглого числа 20 и остатка 3. Тогда можно умножить 7 отдельно на каждое слагаемое, а результаты сложить.
Ответ: 161. Разложение оказалось удобным, потому что умножать на 20 и на 3 проще, чем выполнять умножение на 23 сразу.
Задача 2. Раскрыть скобки и упростить выражение: 4(3x + 5) − 2x. Сначала умножим 4 на оба слагаемых в скобках. Затем найдём слагаемые с одинаковой буквенной частью и объединим их; число 20 останется отдельно.
Ответ: 10x + 20. Число 4 умножается только на слагаемые внутри скобок, а −2x учитывается после раскрытия скобок.
Задача 3. Решить уравнение: 5(2x − 3) + 4 = 3x + 19. Уберём скобки по распределительному свойству, сохранив минус у второго слагаемого. После приведения подобных членов перенесём слагаемые с x в одну часть, а числа — в другую.
Ответ: x = 30/7. Проверка подстановкой подтверждает равенство: левая и правая части уравнения принимают одно и то же значение.
Первая ошибка — умножить внешний множитель только на первое слагаемое: например, записать 3(a + 2) как 3a + 2. Так делают, когда воспринимают скобки как украшение, а не как сумму. Проверь себя: подставь вместо a число 1; исходное выражение равно 9, а ошибочная запись — 5. Правильное раскрытие даёт 3a + 6.
Вторая ошибка — потерять знак второго слагаемого, особенно при вычитании: написать 2(x − 4) = 2x + 8. Причина в том, что знак минус не учитывают вместе с числом 4. Запиши вычитаемое как отрицательное слагаемое: 2 · (−4) = −8, значит, верно 2x − 8. Повторное раскрытие скобок помогает проверить знак.
Третья ошибка — спутать раскрытие скобок с вынесением множителя и выполнить преобразование не в ту сторону. При раскрытии произведение становится суммой, а при вынесении общего множителя сумма превращается в произведение. Сверься с видом исходной записи: если есть общий множитель у всех слагаемых, его можно вынести, а если множитель умножается на скобки — раскрыть их. Обратное преобразование должно возвращать исходное выражение.
Четвёртая ошибка — вынести множитель, который общий не для всех слагаемых. Например, нельзя записать 6x + 4y как 6(x + 4y), потому что второй член после раскрытия станет 24y. Ищут число или буквенное выражение, на которое без остатка делится каждое слагаемое. Для проверки раскрой скобки и сравни оба слагаемых с исходными.
Для работы с распределительным свойством нужно знать порядок действий, компоненты умножения и правила сложения и вычитания чисел и буквенных выражений. Оно пригодится при упрощении многочленов, решении уравнений и преобразовании формул. С ним связаны распределительное свойство относительно вычитания, а также переместительное и сочетательное свойства операций: они позволяют менять удобный порядок вычислений, не изменяя результат.
Почему множитель нужно умножать на каждый член суммы?
Сумма состоит из отдельных слагаемых, и умножение на сумму означает умножение на каждое из них с последующим сложением результатов. Если пропустить слагаемое, получится другое значение. Например, 3 · (4 + 2) = 12 + 6, а не только 12.
Чем отличаются записи a(b + c) и (a + b)c?
В записи a(b + c) на сумму b + c умножают число a, поэтому получают ab + ac. В записи (a + b)c на число c умножают сумму a + b, поэтому получают ac + bc. В обоих случаях множитель умножают на каждое слагаемое.
Как не потерять знак минус при раскрытии скобок?
Считай знак частью слагаемого и умножай на него вместе с числом или буквой. Например, 3(5 − x) = 3 · 5 + 3 · (−x) = 15 − 3x. После раскрытия скобок проверь, сохранился ли знак каждого слагаемого.
Можно ли применять распределительное свойство к трём и более слагаемым?
Да. Множитель нужно умножить на каждое слагаемое в скобках. Например, a(b + c + d) = ab + ac + ad.
Как понять, какой общий множитель можно вынести за скобки?
Найди число или выражение, которое является множителем каждого слагаемого. Например, в 6x + 6y общим множителем служит 6, поэтому 6x + 6y = 6(x + y). Проверь результат обратным раскрытием скобок.
55. Распределительное свойство умножения относительно сложения
