"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Двузначное число при умножении удобно представить как сумму десятков и единиц. Тогда каждый разряд можно умножить отдельно и сложить результаты — так работает распределительное свойство умножения. Этот приём помогает умножать двузначное число на однозначное и однозначное на двузначное, не путая разряды. Если произведение единиц больше девяти, получившиеся десятки нужно прибавить к десяткам. Проверить вычисление можно, переставив множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разрядный состав двузначного числа — это его представление в виде суммы десятков и единиц: например, 34 = 30 + 4. Такое разложение показывает, из каких частей состоит число. Оно нужно, чтобы выполнять умножение отдельно для каждого разряда.
Умножение двузначного числа на однозначное — это умножение числа, состоящего из десятков и единиц, на число от 2 до 9. Например, в выражении 23 · 4 двузначное число 23 умножается на однозначное 4. Разложение числа помогает не пропустить ни десятки, ни единицы.
Умножение однозначного числа на двузначное — это умножение числа от 2 до 9 на число, состоящее из десятков и единиц. Так, в выражении 6 · 34 однозначный множитель равен 6, а двузначный — 34. Для вычисления можно разложить 34 на десятки и единицы.
Распределительное свойство умножения относительно сложения означает: чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты. Например, (30 + 4) · 6 = 30 · 6 + 4 · 6. Это свойство объясняет, почему разложение двузначного числа помогает упростить вычисление.
Двузначное число состоит из разных разрядов, поэтому его удобно разделить на десятки и единицы. Например, 34 — это не просто две цифры, а 30 + 4. Такое представление позволяет использовать известные правила умножения и не пытаться выполнять всё действие сразу. После вычислений части снова соединяют сложением, потому что вместе они дают исходное произведение.
При умножении двузначного числа на однозначное каждый разряд умножают на этот множитель. Например, в 23 · 4 сначала можно вычислить 20 · 4, затем 3 · 4, а после сложить ответы: 80 + 12. Причина такого способа — распределительное свойство: 23 · 4 = (20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4. Действие остаётся равным исходному умножению, но становится удобнее для счёта.
Иногда произведение единиц получается больше девяти, и тогда оно включает не только единицы, но и полные десятки. Например, 7 · 3 = 21: это 2 десятка и 1 единица. Если такие десятки оставить только в части, полученной из единиц, можно неверно сложить разряды. Поэтому результат рассматривают как число целиком или отдельно переносят его десятки к десяткам.
При умножении однозначного числа на двузначное раскладывают именно двузначный множитель. Например, 6 · 34 превращается в 6 · (30 + 4), то есть в сумму 6 · 30 и 6 · 4. Это тот же принцип: умножение суммы заменяется умножением каждого слагаемого. Меняется порядок записи множителей, но действия с разрядами остаются такими же.
Перестановка множителей не меняет произведение: a · b = b · a. Поэтому задачу 6 · 34 можно записать как 34 · 6 и решить способом умножения двузначного числа на однозначное. Это удобно, когда один порядок записи кажется понятнее или помогает проверить вычисление. Однако при любом порядке нужно учитывать и десятки, и единицы двузначного числа.
В таблице показано, какое число раскладывать и на что обратить внимание в каждом случае. Сверяйся с ней, если сомневаешься в порядке действий или нужно проверить переход через десяток. В последней строке используй переместительное свойство, чтобы проверить результат другим способом.
| Что умножаем | Как разложить двузначное число | Как выполнить умножение | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Двузначное число на однозначное | Представить двузначное число как сумму десятков и единиц. | Умножить каждое слагаемое на однозначный множитель и сложить результаты. | Умножаются оба разряда, а не только единицы. |
| Однозначное число на двузначное | Разложить двузначный множитель на десятки и единицы. | Умножить оба слагаемых на однозначное число, затем сложить. | Порядок множителей не меняет произведение. |
| Умножение единиц с переходом через десяток | Разложить число по разрядам, как обычно. | Вычислить произведение единиц и учесть его десятки при сложении. | Например, 7 · 3 = 21: это 2 десятка и 1 единица. |
| Проверка результата перестановкой множителей | Записать множители в обратном порядке. | Вычислить произведение удобным способом ещё раз. | Ответ при проверке должен совпасть. |
Задача: вычислите 23 · 4. Здесь двузначный множитель 23 состоит из 2 десятков и 3 единиц. Чтобы применить распределительное свойство, сначала запишем число суммой разрядных частей, а затем выполним два простых умножения. Сложение в конце вернёт целое произведение.
Ответ: 92. Мы умножили на 4 и два десятка, и три единицы, поэтому учли весь состав числа 23. Число 12 в этой записи уже включает десяток, полученный из единиц, и его нужно сложить с 80.
Задача: вычислите 6 · 34. Теперь однозначное число стоит первым, но двузначное число всё равно можно разложить на десятки и единицы. Так мы увидим, что выполняется та же последовательность действий. Сначала отдельно найдём произведения частей, затем сложим их.
Ответ: 204. Мы применили распределительное свойство: 6 · (30 + 4) = 6 · 30 + 6 · 4. Можно переставить множители и записать 34 · 6; произведение останется тем же. Такой способ особенно удобен, если привычнее сначала видеть двузначное число.
Задача: вычислите 27 · 3 и проверьте ответ. В числе 27 есть 20 и 7, причём произведение единиц окажется больше девяти. Поэтому нужно внимательно учесть десяток, который появится при умножении 7 на 3. После вычисления проверим результат перестановкой множителей.
Ответ: 81. Переход через десяток здесь уже учтён в числе 21, поэтому к нему не нужно прибавлять ещё один десяток отдельно. Проверка дала то же произведение. Если результат при проверке отличается, стоит заново проверить умножение частей или их сложение.
Для этого способа нужно знать таблицу умножения и уметь раскладывать двузначное число на десятки и единицы. Например, без знания 7 · 3 трудно быстро вычислить произведение единиц. Разложение по разрядам опирается на представление числа как суммы, а умножение этих частей — на распределительное свойство умножения относительно сложения.
Такой приём подготавливает к письменному умножению многозначных чисел: там тоже работают с разрядами и следят за переходами. Он полезен и для устных вычислений, потому что позволяет выбирать удобные части числа. Перестановка множителей помогает упростить счёт или проверить ответ.
Зачем раскладывать двузначное число на десятки и единицы?
Так сложное умножение превращается в два более простых: отдельно умножаются десятки и единицы. Затем результаты складываются, поэтому ни один разряд не теряется.
Как умножить двузначное число на однозначное?
Представь двузначное число суммой десятков и единиц. Умножь каждое слагаемое на однозначное число, а полученные результаты сложи.
Как умножить однозначное число на двузначное?
Разложи двузначный множитель на десятки и единицы. Умножь на однозначное число оба слагаемых и сложи результаты; можно также поменять множители местами.
Что делать, если при умножении единиц получается больше девяти?
Выдели в произведении единиц полные десятки. Эти десятки прибавь к результату умножения десятков, а оставшиеся единицы запиши в разряде единиц.
Можно ли переставлять множители при вычислении?
Да. От перестановки множителей произведение не меняется: a · b = b · a. Это позволяет заменить умножение однозначного числа на двузначное умножением двузначного на однозначное.
56. Умножение двузначного числа на однозначное и однозначного на двузначное
