6. Выражения со скобками

Определения и обозначения

Выражение со скобками — это числовое выражение, в котором одна или несколько групп действий заключены в скобки. Скобки показывают, что заключённую в них часть нужно вычислить прежде остальных действий. Например, в записи 18 − (7 + 5) сначала складывают 7 и 5, хотя перед скобками стоит знак вычитания. Это обозначение помогает задать точный порядок вычислений.

Значение выражения — результат, который получают после выполнения всех действий. Например, в выражении 18 − (7 + 5) сначала находят сумму в скобках, а затем вычитают её из 18. Получается 6 — это значение всего выражения. Понятие нужно, чтобы отличать саму запись с действиями от числа, которое выходит при вычислении.

Порядок действий — последовательность, в которой выполняют вычисления в выражении. Сначала считают внутри скобок, затем выполняют умножение и деление, а после них сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Если придерживаться этой последовательности, разные вычисления одной записи дадут один и тот же правильный результат.

Как это устроено

Скобки могут изменить результат, потому что меняют очередность действий. Например, 18 − (7 + 5) означает, что из 18 нужно вычесть всю сумму 7 и 5: получится 6. Если скобки убрать, запись станет 18 − 7 + 5, и действия пойдут слева направо: сначала вычитание, потом сложение, результат будет 16. Значит, скобки — не украшение записи: их наличие влияет на то, что именно вычисляется первым.

Сначала выполняют действия в скобках, потому что скобки выделяют часть выражения как отдельную группу. Пока её значение не найдено, нельзя подставить результат этой группы в оставшуюся запись и продолжить вычисления. Если скобок несколько, вычисляют каждую заключённую в них часть, соблюдая порядок действий внутри неё. Только после этого переходят к действиям, которые стоят за скобками.

Когда значения в скобках уже найдены, умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Это правило не зависит от того, какой знак стоит первым в записи: например, в 4 · 6 + 8 сначала умножают, а потом прибавляют. Такой порядок нужен, чтобы умножение и деление относились к числам рядом с ними до того, как выполняется сложение или вычитание. Поэтому нельзя сначала сложить числа только потому, что они стоят левее.

Умножение и деление имеют одинаковый уровень, как и сложение с вычитанием. Если в выражении есть несколько действий одного уровня, их выполняют слева направо: например, 24 : 3 · 2 считают как 24 : 3, затем умножают результат на 2. Нельзя произвольно выбирать, какое действие удобнее сделать первым. То же правило действует для сложения и вычитания: в выражении 15 − 6 + 2 сначала вычитают, затем прибавляют.

Чтобы не потерять последовательность, удобно записывать после каждого шага новую строку выражения. В каждом следующем шаге заменяй уже вычисленную часть её результатом, а остальные действия оставляй без изменений. Так видно, что именно выполнено и какие знаки ещё нужно учитывать. Если запись стала короткой, снова проверь приоритет действий, а не вычисляй наугад.

Порядок действий в выражениях со скобками

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала разберись со скобками, затем переходи к умножению и делению. Сложение и вычитание выполняй в последнюю очередь. На каждом этапе соблюдай движение слева направо, если действия имеют одинаковый уровень.

Разбор задач

Задача: Вычислите 18 − (7 + 5). В скобках записана сумма, которую нужно найти прежде вычитания. Начнём именно с неё, а затем заменим скобки полученным числом и выполним оставшееся действие.

1. Вычислим сумму в скобках: 7 + 5 = 12.
2. Подставим результат вместо выражения в скобках: 18 − 12.
3. Вычтем: 18 − 12 = 6.

Ответ: 6. Скобки здесь определили, что из 18 вычитается вся сумма 7 и 5.

Задача: Вычислите 4 · (15 − 9) + 8. Сначала найдём значение в скобках, чтобы затем умножить на 4. Сложение с 8 пока не выполняем, так как умножение имеет более высокий приоритет.

1. Вычислим разность в скобках: 15 − 9 = 6.
2. Заменим скобки результатом: 4 · 6 + 8.
3. Выполним умножение: 4 · 6 = 24, получим 24 + 8.
4. Выполним сложение: 24 + 8 = 32.

Ответ: 32. Запись по шагам показывает, почему сложение выполняется последним.

Задача: Вычислите 72 : (3 · 4) + 2 · (11 − 7). Здесь две пары скобок, поэтому сначала найдём обе заключённые в них части. Затем выполним деление и умножение, а оставшееся сложение — после них.

1. Вычислим значения в скобках: 3 · 4 = 12 и 11 − 7 = 4.
2. Подставим результаты: 72 : 12 + 2 · 4.
3. Выполним деление и умножение слева направо: 72 : 12 = 6, затем 2 · 4 = 8.
4. Сложим полученные числа: 6 + 8 = 14.

Ответ: 14. После скобок оба действия второго этапа выполнены до сложения.

Типичные ошибки

Ошибка: выполнить умножение или деление вне скобок раньше действий внутри них. Так бывает, когда ученик ориентируется только на знак умножения или деления и забывает, что скобки задают более ранний этап. Сначала проверь, есть ли в записи скобки, и вычисли заключённые в них части.

Ошибка: сложить или вычесть раньше умножения и деления. Её допускают, если считают выражение просто слева направо, не учитывая разные уровни действий. Проверь, не осталось ли умножения или деления, прежде чем выполнять сложение и вычитание.

Ошибка: поменять местами действия одного уровня. Например, в 24 : 3 · 2 нельзя сначала умножить 3 на 2: деление и умножение выполняются по порядку записи. Чтобы проверить себя, двигайся слева направо и отмечай уже выполненное действие.

Ошибка: убрать скобки, не сохранив заданную ими очередность. Скобки могут менять результат, поэтому запись без них не всегда означает то же самое. Сравни порядок действий до и после их удаления: если он меняется, скобки нельзя просто убрать.

Связь с другими темами

Для вычислений со скобками нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа. Эти действия дают промежуточные результаты, которые затем подставляют в оставшуюся часть выражения. Если арифметические вычисления выполнены неверно, правильный порядок действий сам по себе не приведёт к правильному ответу.

Правила порядка действий пригодятся при вычислении любых числовых выражений, а также при подстановке чисел в буквенные выражения. Буквы заменяют заданными числами, после чего полученную запись вычисляют по тем же правилам. Скобки и приоритет действий помогают не менять смысл выражения во время вычислений.

Что запомнить

• Скобки указывают, какие действия выполнить прежде остальных.
• Сначала вычисляют выражение в скобках.
• После скобок выполняют умножение и деление.
• Сложение и вычитание выполняют после умножения и деления.
• Действия одного уровня выполняют слева направо.
• Промежуточные результаты удобно записывать по шагам.