8. Симметричные фигуры

Определения и обозначения

Точки называют симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, который их соединяет. Иначе говоря, прямая проходит через середину отрезка под прямым углом. Это определение позволяет точно построить пару точек, а не полагаться на вид рисунка.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой каждая точка фигуры переходит в точку этой же фигуры. При отражении фигура как будто складывается по этой прямой и совпадает сама с собой. Ось помогает обнаружить одинаковые части фигуры и выполнять построения.

Фигуры симметричны относительно прямой, если при отражении относительно неё они совмещаются. Каждой точке одной фигуры при этом соответствует точка другой фигуры на равном расстоянии от прямой. Это понятие используют, чтобы сравнивать расположение и форму фигур.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой каждая точка фигуры переходит в другую точку этой же фигуры. Центр является серединой отрезка между соответствующими точками. Такое определение помогает находить симметричные пары и проверять симметрию всей фигуры.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой l, сначала опусти из A перпендикуляр на l. Обозначь основание перпендикуляра, а затем продолжи его за прямую. На продолжении отложи от основания расстояние, равное расстоянию от A до l. Перпендикуляр нужен потому, что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют именно по перпендикуляру; равные отрезки по обе стороны дают нужное отражение.

Почему ось симметрии делит отрезок между парой точек пополам и под прямым углом? При отражении точки находятся по разные стороны от оси на одинаковом расстоянии, измеренном перпендикулярно к ней. Поэтому ось проходит через середину соединяющего их отрезка, а этот отрезок пересекает ось под прямым углом. Значит, ось и есть серединный перпендикуляр к отрезку.

Чтобы проверить, является ли прямая осью симметрии, представь отражение всей фигуры относительно этой прямой. Каждая точка должна перейти в точку исходной фигуры, а границы и части фигуры — совместиться. Если хотя бы одна точка после отражения оказывается вне фигуры, симметрии относительно этой прямой нет. Для многоугольника удобно сравнивать вершины и соответствующие им стороны.

Фигуру, симметричную данной относительно прямой, строят по её характерным точкам. У многоугольника это вершины: из каждой проводят перпендикуляр к оси и откладывают за осью такое же расстояние. Полученные точки соединяют в том же порядке, что и исходные вершины. Порядок сохраняет соседство сторон, поэтому не получится случайно соединить несоседние вершины.

При центральной симметрии соответствующая исходной точке и её образу прямая проходит через центр. Центр должен находиться между ними и делить отрезок пополам, то есть расстояния от него до обеих точек равны. Поэтому для построения образа точки достаточно провести прямую через точку и центр, а затем отложить за центром равный отрезок. Это отличает центральное отражение от отражения относительно прямой.

Симметрия относительно прямой и относительно точки

Сравнивай симметрии по тому, что их задаёт и как расположены соответствующие точки. В таблице приведены признаки, по которым можно выбрать способ построения или проверки. Если речь идёт о прямой, проверяй перпендикуляр и равные расстояния; если о точке — середину отрезка.

Используй строки таблицы как короткий алгоритм: сначала определи, задана прямая или точка, затем проверь положение соответствующих точек. Последняя строка помогает отличить само построение от проверки симметрии фигуры.

Разбор задач

Задача 1. Точка A находится на расстоянии 3 см от прямой l. Постройте точку, симметричную A относительно l. Расстояние до прямой измеряется по перпендикуляру, поэтому именно на нём должны лежать обе симметричные точки. Нужный образ будет по другую сторону l на том же расстоянии.

1. Проведи через A перпендикуляр к прямой l и обозначь точку пересечения через H. Тогда AH = 3 см.
2. Продолжи прямую AH за точку H. На продолжении отметь точку A′ так, чтобы HA′ = 3 см.
3. Проверь построение: H находится между A и A′, а AH и HA′ равны. Значит, l проходит через середину AA′ и перпендикулярна ему.

Ответ: точка A′ на перпендикуляре к l по другую сторону прямой, на расстоянии 3 см от неё.

Задача 2. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой, не проходящей через его вершины. Каждая вершина после отражения должна оказаться на таком же расстоянии от прямой, но с другой стороны. Затем нужно восстановить стороны, сохранив, какие вершины были соседними.

1. Обозначь вершины исходного треугольника A, B и C. Из каждой вершины проведи перпендикуляр к заданной прямой.
2. На противоположной стороне от прямой отметь точки A′, B′ и C′ на расстояниях, равных расстояниям от A, B и C до прямой.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′, затем C′ с A′. Такой порядок соответствует сторонам исходного треугольника.

Ответ: треугольник A′B′C′ — искомое отражение. Для проверки убедись, что прямая является серединным перпендикуляром к AA′, BB′ и CC′.

Задача 3. Определите, имеет ли прямоугольник центр симметрии, и постройте его. При центральной симметрии каждой вершине должна соответствовать противоположная вершина, а центр — делить отрезок между ними пополам. В прямоугольнике такими отрезками служат диагонали.

1. Проведи обе диагонали прямоугольника и обозначь их точку пересечения через O.
2. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Поэтому O — середина каждой диагонали и находится на равном расстоянии от каждой пары противоположных вершин.
3. При повороте на половину полного оборота вокруг O противоположные вершины меняются местами, а прямоугольник совмещается сам с собой. Значит, O подходит на роль центра симметрии.

Ответ: прямоугольник имеет центр симметрии; это точка пересечения его диагоналей.

Типичные ошибки

Ошибка: откладывать расстояние до оси не по перпендикуляру. Так получают точку на нужном расстоянии по выбранному направлению, но ось уже не будет серединным перпендикуляром к отрезку между точками. Эту ошибку допускают, когда ориентируются на наклонный отрезок на рисунке. Проверь построение угольником: соединяющий точки отрезок должен быть перпендикулярен оси.

Ошибка: считать, что ось обязана проходить через вершины. Ось может пересекать стороны или проходить вне вершин, потому что её признак — совпадение фигуры с отражением, а не прохождение через определённые точки. Такое ожидание часто возникает из-за примеров с удобными для чертежа фигурами. Проверь, отражаются ли все точки фигуры в точки той же фигуры.

Ошибка: путать ось и центр симметрии. Ось — прямая, а центр — точка; у них разные условия для соответствующих точек. Путаница возникает из-за того, что оба объекта связаны с серединой отрезка. Спроси себя, что делит отрезок: прямая под прямым углом или отдельная точка.

Ошибка: соединять отражённые вершины в произвольном порядке. Тогда стороны могут пересечься или получится другая фигура, хотя сами точки построены правильно. Ошибку допускают, если не следят за тем, какие вершины были соседними. Перед соединением перечисли вершины исходного многоугольника по контуру и повтори тот же порядок для их образов.

Связь с другими темами

Для построения симметричной точки нужны навыки проведения перпендикуляра и измерения расстояния от точки до прямой. Если перпендикуляр проведён неверно, равные отрезки не обеспечат отражение. Поэтому перед построением полезно проверить прямой угол и аккуратно отметить равные расстояния.

Симметрия помогает изучать свойства геометрических фигур и выполнять построения. Она показывает, какие части фигуры соответствуют друг другу, и позволяет проверять, совпадут ли фигуры после преобразования. Так геометрические преобразования связывают отдельные построения с общими свойствами фигур.

Представления о симметрии пригодятся при изучении координат и преобразований фигур на плоскости. В координатах расположение симметричных точек можно описывать через их координаты, а знакомые построения помогают понять, что меняется при отражении. Это создаёт основу для дальнейшего изучения преобразований.

Что запомнить

• Симметричные относительно прямой точки лежат на перпендикуляре к этой прямой.
• Ось симметрии делит пополам отрезок между симметричными точками.
• Ось симметрии перпендикулярна отрезку между симметричными точками.
• При отражении относительно прямой фигура совмещается сама с собой.
• При центральной симметрии центр делит пополам отрезок между соответствующими точками.