"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Занимательные математические задачи помогают увидеть, как числа подчиняются правилам, и потренироваться рассуждать. Их необычная форма может скрывать знакомые действия, закономерность или цепочку логических выводов. Чтобы решить такую задачу, недостаточно угадать ответ: нужно учесть все условия, объяснить ход решения и проверить результат. Эти приёмы пригодятся не только в головоломках, но и при решении обычных задач и уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая головоломка — задача занимательного характера, для решения которой нужно найти закономерность или применить известные математические знания. Необычная формулировка делает задачу интересной, но не заменяет рассуждения. Это понятие помогает увидеть, что к головоломке нужно подходить как к обычной математической задаче: внимательно читать условие и обосновывать ответ.
Числовой ребус — запись, в которой цифры заменены буквами или знаками; требуется восстановить числа с учётом условий задачи. Обычно одна и та же буква обозначает одну и ту же цифру, если условие не задаёт иного. Понятие нужно, чтобы не подставлять цифры наугад, а использовать разряды числа и ограничения ребуса.
Числовой фокус — заранее подготовленное действие с числами, результат которого объясняется математическим правилом. Кажется, будто ведущий угадывает ответ, но на деле действия устроены так, чтобы исходное число сократилось или превратилось в постоянную величину. Это определение подсказывает, что фокус можно проверить выражением.
Логическая задача — задача, в которой ответ находят последовательным анализом условий и исключением невозможных вариантов. Здесь полезно сравнивать сведения между собой, а не полагаться на первое впечатление. Такое определение помогает отличить доказанное решение от догадки и проверить, что не пропущено ни одно условие.
Занимательная задача может быть записана в виде истории, ребуса или игры, однако её условия остаются обязательными. Если отбросить хотя бы одно из них, можно получить ответ, который выглядит правдоподобно, но не подходит задаче. Поэтому сначала отделите известные сведения от того, что требуется найти, и только потом выбирайте способ решения. Точные рассуждения нужны именно для того, чтобы необычная форма не отвлекала от математического смысла.
Чтобы искать закономерность в числовой последовательности, сначала сравните соседние члены и вычислите разности между ними. Если разности меняются, можно сравнить их между собой или проверить, не связаны ли числа умножением и делением. Такой анализ помогает увидеть не только отдельное совпадение, но и повторяющийся способ перехода. Однако несколько первых членов могут подходить разным правилам, поэтому сформулируйте найденное правило и проверьте его на каждом данном числе.
При разборе числового ребуса выясните, какие значения могут принимать буквы и какие цифры запрещены. В двузначном числе первая цифра не равна нулю, иначе запись не будет двузначной. Представление числа через разряды, например AB = 10A + B, переводит запись с буквами в обычное равенство, которое проще исследовать. После вычислений обязательно подставьте цифры обратно: так проверяется и само равенство, и все ограничения условия.
Числовой фокус становится понятным, если назвать исходное число x и записать действия в том порядке, в каком они выполняются. Например, после умножения на 3 получается 3x, а прибавление 12 даёт 3x + 12. Если затем разделить это выражение на 3 и вычесть x, получится (3x + 12) / 3 − x = x + 4 − x = 4. Переменная исчезла, потому что действия с ней взаимно компенсировались, а результат сохранил постоянную часть.
Логическую задачу удобнее решать не перебором наугад, а последовательным отбором вариантов. Выпишите условия, составьте список возможных ответов и отметьте, какой факт подтверждает или исключает каждый вариант. Противоречащий хотя бы одному условию вариант нужно отбросить, даже если он подходит остальным. Такой порядок показывает, почему остался именно этот ответ, и помогает заметить, если подходящих вариантов несколько.
Выберите в таблице вид задачи, а затем используйте подсказку из её строки: она указывает, с чего начать. Последний столбец напоминает, что результат нужно проверять отдельно, а не считать верным только потому, что он получен вычислением. Если при проверке обнаружилось несоответствие условию, вернитесь к поиску решения.
| Вид задачи | Что требуется найти | Полезный приём | Проверка |
|---|---|---|---|
| Числовая последовательность | Правило изменения чисел и следующий член | Сравнить разности и отношения соседних членов | Проверить правило на всех данных числах |
| Числовой ребус | Цифры, заменённые буквами | Использовать разрядность и ограничения условия | Подставить цифры и проверить равенство |
| Числовой фокус | Постоянный результат действий | Обозначить исходное число буквой | Упростить выражение и проверить порядок действий |
| Логическая задача | Вариант, который удовлетворяет всем условиям | Сопоставить варианты и исключить невозможные | Сверить оставшийся вариант с каждым условием |
Задача 1. Продолжите последовательность 2, 5, 10, 17, … и объясните правило. Нужно не просто назвать следующее число, а показать, как меняются соседние члены. Для этого сначала посмотрим на разности.
Ответ: 26, если продолжать последовательность прибавлением нечётных чисел 3, 5, 7, 9. Это обоснованное правило, но без дополнительного условия оно не обязательно единственно возможное. Поэтому в ответе важно назвать способ продолжения, а не только число.
Задача 2. Задумали число, умножили его на 3, прибавили 12, разделили результат на 3 и вычли задуманное число. Какой результат получится? Поскольку неизвестное число может быть любым, обозначим его буквой x. Затем запишем все действия по очереди, не переставляя их местами.
Ответ: 4. Проверим на примере: если задумать 5, то действия дают 15, затем 27, затем 9 и, наконец, 9 − 5 = 4. Буквенное решение показывает, что такой же результат выйдет для любого задуманного числа.
Задача 3. Найдите цифры A и B, если AB + BA = 99, где AB и BA — двузначные числа, записанные указанными цифрами. Запись AB означает не произведение букв, а двузначное число с цифрой A в разряде десятков и B в разряде единиц. Представим оба числа через разряды и решим полученное равенство.
Ответ: пары (A, B): (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1). Например, для A = 1 и B = 8 получаем 18 + 81 = 99. Проверка показывает, что равенству удовлетворяют все перечисленные пары, а требование двузначности исключает ноль.
При продолжении последовательности иногда объявляют первое замеченное правило единственно возможным. Это происходит потому, что несколько переходов подряд действительно могут выглядеть убедительно, хотя им могут соответствовать и другие правила. Проверьте себя: сформулируйте закономерность словами и убедитесь, что она объясняет каждый данный член; не утверждайте больше, чем следует из условия.
В ребусе иногда допускают, что двузначное число начинается с нуля. Такую цифру могут выбрать по привычке, не учитывая, что ноль в разряде десятков не обозначает двузначное число. Проверьте себя, прочитав полученную запись как обычное число: если первая цифра нулевая, условие о двузначности нарушено.
В числовом фокусе можно пропустить действие или выполнить его не в том порядке. Это случается, когда решающий вычисляет в уме и перестаёт следить за исходной последовательностью действий. Проверяйте себя, записывая выражение по шагам и используя скобки там, где нужно; в примере с делением на 3 в скобки обязательно заключают всю сумму 3x + 12.
В логической задаче иногда проверяют только один подходящий вариант и сразу считают его ответом. Так происходит, если случайно найденное решение кажется очевидным, а остальные варианты не рассматриваются. Проверяйте себя, выписывая все возможные варианты и сопоставляя каждый со всеми условиями; если несколько остаются допустимыми, ответов может быть несколько.
Для решения таких задач нужны действия с натуральными числами, порядок выполнения действий и свойства арифметических операций. Буквенные обозначения помогают записывать числовые фокусы и постепенно подводят к алгебраическим выражениям и уравнениям. Поиск закономерностей и проверка вариантов полезны в текстовых, олимпиадных и логических задачах. Поэтому приёмы из головоломок можно применять и за пределами этой темы.
Как понять, какое правило продолжает числовую последовательность?
Сначала сравните соседние числа: найдите разности, а если это полезно — отношения. Затем проверьте, повторяется ли обнаруженный способ перехода на всех известных членах. Выберите простое правило, которое объясняет данные числа, и обоснуйте продолжение.
Почему одного подходящего примера недостаточно, чтобы доказать закономерность?
Одни и те же первые числа могут подходить сразу к нескольким правилам. Например, можно придумать разные способы получить очередной член, совпадающие на уже записанных числах. Поэтому найденное правило нужно проверить на всех данных членах и ясно сформулировать.
Можно ли в числовом ребусе использовать одну цифру для разных букв?
Это зависит от условий ребуса. Если сказано, что разным буквам соответствуют разные цифры, повторять цифру нельзя; если такого ограничения нет, оно не возникает само собой. Всегда проверяйте найденное решение по всем условиям.
Как объяснить, почему числовой фокус всегда даёт один и тот же результат?
Обозначьте задуманное число буквой и запишите каждое действие в выражении в том же порядке, что и в условии. Затем упростите выражение: если буква исчезает, итог не зависит от выбранного числа. Так становится видно, какое правило скрыто за фокусом.
Что делать, если в логической задаче подходят сразу несколько вариантов?
Не выбирайте один из них наугад. Сверьте каждый вариант со всеми условиями и проверьте, не осталось ли противоречий или неучтённых случаев. Если несколько вариантов действительно удовлетворяют условиям, значит, задача допускает несколько ответов либо нужно внимательнее прочитать условие.
Познавательно и занимательно
