Познавательно и занимательно

Определения и обозначения

Логическая задача — задача, в которой ответ находят, последовательно используя условия и исключая невозможные варианты. Иначе говоря, недостаточно угадать подходящий случай: нужно убедиться, что он не противоречит ни одной подсказке. Это определение помогает отличать обоснованное решение от догадки.

Числовой ребус — запись вычисления, в которой цифры заменены буквами или знаками; требуется восстановить исходные цифры. Одна и та же буква в записи обозначает одну и ту же цифру, а разные буквы обычно соответствуют разным цифрам. Это позволяет превратить буквенную запись в задачу о разрядах и вычислениях.

Магический квадрат — квадратная таблица чисел, в которой суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и диагоналях одинаковы. Общую сумму называют магической суммой. Это условие служит проверкой и помогает находить неизвестные числа, когда часть клеток уже заполнена.

Инвариант — величина или свойство, которое не меняется при разрешённых действиях задачи. Например, таким свойством может быть чётность суммы или общий делитель чисел. Инвариант нужен, чтобы проследить за всей последовательностью ходов и иногда доказать, что требуемый результат невозможен.

Как это устроено

В логической задаче сначала отдели факты от предположений. Запиши каждый факт коротко: кто или что рассматривается, какие варианты возможны и какие сочетания запрещены условиями. Такая запись нужна, потому что длинное условие легко запомнить неточно; список ограничений помогает не потерять ни одну подсказку. После этого можно проверять варианты, опираясь на один и тот же набор правил.

Перебирать варианты полезно по очереди, потому что так ни один случай не зависит от случайной догадки. Выбери порядок проверки и отмечай, что уже рассмотрено; если вариант нарушает хотя бы одно условие, сразу вычеркни его. Это сокращает работу: исключённый случай больше не нужно проверять по остальным подсказкам. Когда остаётся один вариант, проверь его целиком, а не только по той подсказке, которая помогла его найти.

В числовом ребусе важно учитывать разрядный состав числа: цифра в разряде единиц и цифра в разряде десятков дают разные части суммы. Поэтому сложение удобнее разбирать справа налево. Если сумма цифр в одном разряде достигает десяти, единица переносится в следующий разряд и должна быть учтена там. Ещё проверь, что первая цифра числа не ноль: иначе запись не будет обозначать число нужной длины.

В магическом квадрате сначала выясни общую сумму, если это возможно, а затем используй известные числа в строках, столбцах и диагоналях. Например, если общая сумма известна, недостающее число в линии можно найти вычитанием суммы известных чисел из неё. Сопоставление разных линий полезно, потому что одна заполненная строка может дать несколько условий на одну и ту же клетку. В конце обязательно проверь каждую строку, каждый столбец и обе диагонали.

В задаче с повторяющимися действиями сравни набор до одного хода и после него. Ищи свойство, которое сохраняется или меняется по понятному правилу: чётность, остаток при делении, сумму или общий делитель. Затем докажи сохранение для любого разрешённого хода, а не только для нескольких примеров. Если конечное состояние должно противоречить этому свойству, значит, оно недостижимо; если нет, инвариант может помочь определить ответ.

Приёмы решения занимательных задач

Пользуйся таблицей как планом: сначала определи тип задачи, затем выбери, что именно нужно анализировать. Основной приём помогает построить решение, а последний столбец напоминает, как проверить его после получения ответа.

Разбор задач

Коробки с фруктами

В трёх коробках лежат яблоки, груши и сливы — по одному виду фруктов в каждой. Требуется определить содержимое коробок по подсказкам. В условии, приведённом здесь, сами подсказки не указаны, поэтому единственного распределения определить нельзя. Покажем, как рассуждать на примере: пусть первая подсказка гласит, что в коробке 1 не яблоки, а вторая — что в коробке 2 не груши.

1. Запиши три возможных вида фруктов для каждой коробки и учти, что каждый вид используется ровно один раз. Это исключает повторение одного вида в двух коробках.

2. По первой подсказке вычеркни яблоки из вариантов для коробки 1. По второй вычеркни груши из вариантов для коробки 2; оставшиеся сочетания проверяй так, чтобы в коробке 3 оказался ещё не использованный вид.

3. Проверяй варианты систематически: например, назначь коробке 1 груши и посмотри, можно ли распределить два других вида с учётом подсказки про коробку 2. Затем проверь другие допустимые назначения, не пропуская ни одного.

С этими двумя примерными подсказками подходят несколько распределений, значит, ответ не единственный. Для единственного ответа нужны дополнительные подсказки; при их наличии тем же способом исключают противоречащие варианты. Итоговое распределение проверяют по каждой подсказке и по условию «по одному виду в каждой коробке».

Числовой ребус

Восстанови цифры в записи АБ + АБ = ВГ, где одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные — разные. Запись означает сложение двух одинаковых двузначных чисел, а результат тоже двузначный. Например, подходит А = 1, Б = 2, В = 2, Г = 4: 12 + 12 = 24. Разберём, почему эта подстановка работает и как проверять другие варианты.

1. Начни с разряда единиц: складываются Б и Б. Их сумма задаёт цифру Г, а если она не меньше 10, единица переносится к десяткам. Следовательно, нужно учитывать оба случая — с переносом и без него.

2. В разряде десятков складываются цифры А и А, а также возможный перенос из единиц. Полученная цифра десятков должна быть В; если сумма достигает 10, результат был бы трёхзначным и такой вариант не подошёл бы.

3. Проверь ограничения на буквы и ноль. А и В — первые цифры двузначных чисел, поэтому они не равны нулю; кроме того, А, Б, В и Г должны быть разными цифрами. Для найденного примера 1, 2, 2, 4 видно нарушение: А и В совпадают, поэтому пример не подходит.

Возьмём корректный вариант: А = 1, Б = 2, В = 2, Г = 4 не удовлетворяет условию о разных буквах, так что его нужно отвергнуть. Например, А = 1, Б = 3 даёт 13 + 13 = 26, но снова В совпадает с Б? Здесь В = 2, Г = 6, все цифры различны, и равенство верно. Ответ: А = 1, Б = 3, В = 2, Г = 6; проверка — 13 + 13 = 26.

Задача с повторяющимися действиями

На доске написаны числа от 1 до 20. За ход разрешено заменить два числа их разностью. Может ли после нескольких ходов остаться одно число? Будем считать разностью неотрицательное число, то есть модуль разности. Нужно исследовать не отдельную последовательность ходов, а свойства, которые обязаны сохраняться при любом выборе двух чисел.

1. Посмотри на сумму всех чисел. При замене a и b на |a − b| она уменьшается на 2 · min(a, b), значит, меняется на чётное число. Поэтому чётность общей суммы сохраняется.

2. Сумма чисел от 1 до 20 равна 210 и чётна. Значит, если останется одно число, оно должно быть чётным.

3. Рассмотри общий делитель всех чисел. Замена a и b на |a − b| его не меняет: число делит a и b тогда и только тогда, когда делит a и |a − b|. У исходных чисел общий делитель равен 1, поэтому у единственного оставшегося числа он тоже должен быть равен 1.

Если на доске осталось одно число, оно само является общим делителем набора, а значит, должно равняться 1. Но по сохранению чётности оно должно быть чётным. Число 1 нечётно, поэтому оба требования несовместимы. Ответ: нет, одно число остаться не может.

Типичные ошибки

• При переборе вариантов можно проверить несколько удобных случаев и решить, что других нет. Так происходит, когда варианты не записывают и полагаются на память. Составь полный список случаев и отмечай каждый проверенный вариант; затем убедись, что список охватывает все возможности.

• В ребусе иногда разрешают первой букве быть нулём или дают разным буквам одну цифру. Это кажется допустимым, если проверять только арифметическое равенство, но нарушает условия записи. Перед проверкой вычисления выпиши ограничения: ведущая цифра ненулевая, одинаковые буквы совпадают, разные — различаются.

• Можно проверить суммы только в строках магического квадрата и пропустить столбцы или диагонали. Ошибка возникает, если принять одно выполненное требование за полную проверку. Сверь каждую линию отдельно: все строки, все столбцы и обе диагонали должны дать одну сумму.

• В задаче на инвариант легко заметить подходящее свойство по нескольким примерам, но не доказать, что оно сохраняется всегда. Тогда вывод может оказаться случайным и не относится к другим ходам. Проверь свойство для произвольных чисел до и после одного разрешённого действия и запиши, почему оно не меняется.

Связь с другими темами

Для таких задач нужны умение внимательно читать условия, выполнять действия с натуральными числами и проверять вычисления. Логический перебор пригодится в текстовых и комбинаторных задачах, а также при доказательстве утверждений: везде важно учитывать все случаи. Числовые ребусы и таблицы опираются на знание разрядного состава числа и свойств сложения. Навыки проверки помогают заметить ошибку до того, как она повлияет на ответ.

Что запомнить

• Сначала точно выпиши условия задачи.
• Перебирай варианты систематически, не пропуская возможности.
• В ребусе одна и та же буква всегда обозначает одну и ту же цифру.
• Проверяй все требования задачи, а не только часть из них.
• В задачах с действиями ищи то, что не меняется.
• Ответ должен следовать из условий и выдерживать проверку.