"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Письменные приёмы помогают складывать и вычитать многозначные числа, когда устный счёт становится неудобным. Числа записывают столбиком, совмещая единицы с единицами, десятки с десятками и остальные разряды. Действия выполняют справа налево: при сложении переносят десяток, если в разряде набралось десять единиц, а при вычитании занимают единицу старшего разряда, если своих единиц не хватает. Прикидка и обратное действие помогают заметить ошибку.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Письменное сложение многозначных чисел — способ складывать числа, записанные столбиком с совпадающими разрядами. Цифры единиц располагают под единицами, десятков — под десятками и так далее. Такая запись помогает видеть, какие разряды складываются друг с другом. Она особенно удобна, когда чисел много или в вычислениях возникают переносы.
Перенос единицы — переход десяти единиц одного разряда в одну единицу следующего разряда. Например, десять единиц превращаются в один десяток, а десять десятков — в одну сотню. Перенос нужен, когда сумма цифр разряда достигает десяти или становится больше. Его записывают над следующим разрядом, чтобы не забыть прибавить к сумме.
Письменное вычитание многозначных чисел — способ вычитать числа, записанные столбиком с совпадающими разрядами. В каждом столбце вычитают цифры одного и того же разряда, переходя от единиц к более крупным разрядам. Эта запись позволяет последовательно выполнять вычисление и видеть, где своих единиц не хватает. Тогда можно определить, из какого разряда потребуется заём.
Заём единицы старшего разряда — замена одной единицы старшего разряда десятью единицами соседнего младшего разряда при вычитании. Например, один десяток можно заменить десятью единицами. При этом в разряде, откуда заняли, цифра уменьшается на единицу. Заём позволяет продолжить вычитание, если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого.
При записи столбиком единицы ставят под единицами, десятки — под десятками и так далее, потому что место цифры определяет её значение. Например, 3 в разряде десятков означает 30, а 3 в разряде единиц — только 3. Если сдвинуть одно число относительно другого, цифры разных разрядов окажутся в одном столбце. Тогда вычисление будет относиться уже не к исходным числам.
Письменное сложение повторяет сложение по разрядам, поэтому начинают справа, с единиц. Сначала складывают цифры единиц, затем цифры десятков и последовательно переходят к более крупным разрядам. Такой порядок позволяет сразу учесть результат предыдущего столбца. Если в разряде появляется перенос, его прибавляют при сложении цифр следующего разряда.
Если сумма цифр разряда равна десяти или больше, её нельзя целиком записать в этом разряде: там помещается не более девяти единиц данного разряда. Например, 8 + 7 = 15 единиц, то есть 1 десяток и 5 единиц. Поэтому 5 записывают в столбце единиц, а 1 переносят в столбец десятков. Так сохраняется значение числа, а не просто набор цифр.
При вычитании также идут справа налево, чтобы сравнивать и вычитать цифры одинаковых разрядов. Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, в текущем столбце не хватает единиц. Тогда одну единицу соседнего старшего разряда заменяют десятью единицами текущего разряда. Цифра старшего разряда при этом уменьшается на единицу, иначе число было бы изменено неверно.
Прикидка заранее показывает примерный размер ответа: для неё числа можно округлить до удобных разрядов. Это помогает заметить, например, что результат сложения не может быть меньше каждого слагаемого. Проверка обратным действием точнее: если из суммы вычесть одно слагаемое, должно получиться другое. Если к разности прибавить вычитаемое, должно восстановиться уменьшаемое.
| Случай | Запись чисел | Порядок действий | Действие при переходе через разряд |
|---|---|---|---|
| Сложение без переноса | Одноимённые разряды друг под другом | Складывать цифры справа налево | Не требуется |
| Сложение с переносом единицы | Одноимённые разряды друг под другом | Складывать справа налево, учитывая перенесённую единицу | Десяток переносить в следующий разряд |
| Вычитание без займа | Одноимённые разряды друг под другом | Вычитать цифры справа налево | Не требуется |
| Вычитание с займом единицы старшего разряда | Одноимённые разряды друг под другом | Вычитать справа налево, проверяя, хватает ли единиц | Занять единицу старшего разряда и уменьшить его цифру на 1 |
Сначала определите, есть ли перенос или заём в каждом столбце, а затем действуйте по соответствующей строке таблицы. При сложении следите, чтобы перенесённая единица попала в следующий разряд. При вычитании проверяйте, что цифра, из которой заняли, уменьшилась.
Задача 1. Вычислите 243 + 526 письменным способом. Здесь в каждом разряде сумма цифр меньше десяти, поэтому перенос не потребуется. Запишем числа так, чтобы разряды совпали.
Ответ: 243 + 526 = 769. Каждая цифра ответа получена сложением цифр одного разряда, поэтому значение разрядов сохранено.
Задача 2. Вычислите 368 + 457 письменным способом. Начинаем с единиц и проверяем, не образуется ли десяток. Если образуется, оставляем в текущем разряде только единицы, а десяток переносим дальше.
Ответ: 368 + 457 = 825. Переносы учтены по очереди: сначала из единиц в десятки, затем из десятков в сотни.
Задача 3. Вычислите 5002 − 1786 и проверьте результат сложением. В разряде единиц 2 меньше 6, а в соседнем разряде десятков стоит ноль. Поэтому сначала нужно занять у сотен, а затем передать единицы через разряд десятков.
Ответ: 5002 − 1786 = 3216. При займе через нулевой разряд важно сначала изменить сотни и десятки, а затем вычитать цифры.
Если числа записать со сдвигом, под единицами могут оказаться десятки, и вычисление даст неверный результат. Так происходит, когда ориентируются на начало записи, а не на разряды. Перед действием проверьте правый край: последние цифры чисел должны стоять одна под другой. Затем убедитесь, что каждый следующий столбец также содержит одинаковые разряды.
При переносе ошибочно записывать в столбце всю сумму цифр, например 15 вместо 5, или забывать перенесённую единицу в следующем разряде. Обычно это случается, когда переносят правило сложения в уме, но не отмечают промежуточный десяток. После каждого столбца назовите отдельно число единиц и число десятков. В конце проверьте сумму обратным вычитанием.
При займе иногда забывают уменьшить на единицу цифру старшего разряда. Тогда к младшему разряду добавлены единицы, но исходное число фактически стало больше. После каждого займа отмечайте, откуда именно взяли единицу, и уменьшайте там цифру на 1. Проверка сложением помогает обнаружить такую ошибку: сумма разности и вычитаемого должна совпасть с уменьшаемым.
Если при займе в нужном старшем разряде стоит ноль, нельзя пропустить его и просто добавить десять единиц в младшем столбце. Нужно занять из ближайшего ненулевого разряда, уменьшить его цифру на единицу, а промежуточные разряды изменить так, чтобы каждый передал одну единицу следующему. Проверяйте эти изменения по порядку, двигаясь от места займа к нужному разряду. Если полученное число не проходит обратную проверку, перепроверьте цепочку займов.
Для письменных вычислений нужно знать нумерацию многозначных чисел и разрядный состав: именно они объясняют, почему цифра меняет значение в зависимости от места. Также пригодится таблица сложения и вычитания однозначных чисел — она помогает быстро выполнять действия внутри каждого столбца. Освоенные приёмы позволяют считать с большими числами в текстовых задачах и других вычислениях. Обратное действие связывает сложение с вычитанием и служит способом проверки.
Почему числа при сложении и вычитании столбиком нужно выравнивать по разрядам?
Так цифры одного разряда оказываются друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками. Иначе можно сложить или вычесть, например, десятки и единицы, а это изменит смысл вычисления.
В каком разряде начинают письменное сложение?
Начинают с младшего разряда — с единиц, то есть с правого края записи. Затем переходят к десяткам, сотням и дальше, учитывая перенос из предыдущего разряда.
Что делать, если сумма цифр в разряде больше девяти?
В этом разряде записывают только число единиц полученной суммы. Число десятков переносят в следующий разряд и прибавляют там к цифрам.
Как выполнить вычитание, если в разряде уменьшаемого стоит ноль?
Нужно найти слева ближайший разряд, в котором есть ненулевая цифра, и занять из него единицу. При переходе через нули каждый промежуточный разряд получает десять единиц, но затем отдаёт одну следующему разряду.
Как проверить результат письменного сложения или вычитания?
Сначала оцените ответ прикидкой: округлите числа и посмотрите, похож ли результат на ожидаемый. Затем проверьте обратным действием: сумму вычтите из одного слагаемого, а разность сложите с вычитаемым.
20. Письменные приёмы сложения и вычитания многозначных чисел
