21. Проверка сложения и вычитания

Определения и обозначения

Сложение — действие, при котором объединяют два или несколько чисел. Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат — суммой: например, в записи 8 + 5 = 13 числа 8 и 5 — слагаемые, 13 — сумма. Знание названий помогает понять, какие числа участвуют в вычислении. Оно также нужно, чтобы правильно выбрать число для проверки.

Вычитание — действие, при котором из одного числа убирают другое. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, число, которое вычитают, — вычитаемым, а результат — разностью: 13 − 5 = 8. Эти названия показывают порядок действий и не позволяют перепутать числа. Они понадобятся, когда будем составлять проверочное равенство.

Проверка сложения — способ убедиться, что найденная сумма верна, используя вычитание. Из суммы вычитают одно из слагаемых и смотрят, получилось ли другое: если 8 + 5 = 13, то 13 − 5 должно быть равно 8. Проверка полезна, потому что опирается на обратную связь между сложением и вычитанием. Для неё можно выбрать любое из двух слагаемых.

Проверка вычитания — способ проверить разность сложением или повторным вычитанием. При проверке сложением к разности прибавляют вычитаемое, а при проверке вычитанием из уменьшаемого вычитают разность. В обоих случаях должно получиться число, которое участвовало в исходном примере. Такой подход помогает обнаружить ошибку, а не просто повторить то же вычисление.

Как это устроено

В сложении два слагаемых вместе образуют сумму. Поэтому если от целого результата убрать одно из слагаемых, в остатке должно остаться именно другое: например, из 13 убрать 5 — останется 8. Это и объясняет, почему вычитание подходит для проверки сложения. Если получилось не то слагаемое, значит, сумма или проверочное вычитание неверны.

Чтобы проверить сложение, сначала определи, какое слагаемое удобнее вычесть из суммы. Затем выполни вычитание и сравни ответ со вторым слагаемым. Можно проверить и наоборот: вычесть из суммы второе слагаемое и сравнить результат с первым. Совпадение подтверждает вычисление, потому что сумма действительно распадается на исходные слагаемые.

Вычитание отвечает на вопрос, сколько останется, если от уменьшаемого убрать вычитаемое. Чтобы восстановить уменьшаемое, к оставшейся разности нужно вернуть убранное число — вычитаемое. Поэтому разность и вычитаемое в сумме дают уменьшаемое: если 13 − 5 = 8, то 8 + 5 = 13. Именно эта связь позволяет проверить вычитание сложением.

Есть и другой способ проверить вычитание: вычесть найденную разность из уменьшаемого. Например, если 13 − 5 = 8, то 13 − 8 должно быть равно 5. Мы убираем из целого результата ту часть, которая осталась после исходного вычитания, и восстанавливаем убранную часть. В проверке важно вычитать разность именно из уменьшаемого, а не наоборот.

Удобный способ выбирают по числам и по тому, какое действие легче выполнить без ошибки. Для вычитания часто проще сложить разность с вычитаемым; иногда удобнее вычесть разность из уменьшаемого. При сложении можно выбрать для вычитания то слагаемое, с которым проще считать. Какой бы способ ни использовали, результат проверки должен точно совпасть с исходным компонентом; одно лишь выполнение обратного действия без сравнения ещё не подтверждает ответ.

Способы проверки сложения и вычитания

Сначала найди в строке действие, которое нужно проверить, а затем выбери подходящий способ. В последнем столбце указано, какое число должно получиться при проверке. Если результат отличается, исходный ответ нельзя считать подтверждённым.

Разбор задач

Проверим сложение 238 + 147 = 385. Нужно выяснить, действительно ли найденная сумма состоит из чисел 238 и 147. Для этого вычтем одно слагаемое из суммы и сравним результат со вторым. Выберем 147: такое вычитание удобно выполнить по разрядам.

1. Записываем проверку: 385 − 147.
2. Вычитаем: 385 − 100 = 285, 285 − 40 = 245, 245 − 7 = 238.
3. Сравниваем 238 с другим слагаемым: они равны.

Значит, проверочное действие вернуло исходное слагаемое. Ответ: сложение выполнено верно, 238 + 147 = 385.

Теперь проверим вычитание 602 − 275 = 327. Если разность правильная, то вместе с вычитаемым она должна восстановить уменьшаемое. Поэтому сложим 327 и 275, а полученное число сравним с 602. Если сумма окажется другой, придётся проверить исходное вычитание.

1. Составляем проверочное равенство: 327 + 275.
2. Складываем: 327 + 200 = 527, 527 + 70 = 597, 597 + 5 = 602.
3. Сравниваем результат с уменьшаемым: получено 602, как и в исходном примере.

Проверка совпала с исходным числом. Ответ: вычитание выполнено верно, 602 − 275 = 327.

Ученик получил 900 − 468 = 442. Проверим это равенство сложением: верная разность вместе с вычитаемым должна дать уменьшаемое, то есть 900. Сложение покажет, совпадает ли ответ с условием. Если сумма не равна 900, найденное число нужно исправить.

1. Складываем полученный ответ и вычитаемое: 442 + 468.
2. Считаем: 442 + 400 = 842, 842 + 60 = 902, 902 + 8 = 910.
3. Сравниваем 910 с уменьшаемым 900. Числа не равны, значит, ответ 442 неверен.
4. Вычисляем правильно: 900 − 468 = 432. Проверяем: 432 + 468 = 900.

При проверке ошибочный ответ привёл к числу на 10 больше уменьшаемого, поэтому исходное вычитание требовало пересчёта. Ответ: правильная разность — 432.

Типичные ошибки

При проверке сложения иногда вычитают из суммы оба слагаемых подряд. Тогда после вычитания одного слагаемого результат уже равен другому, и второе вычитание портит проверку. Так происходит, если забыть, что проверочное равенство содержит только одно вычитание. Проверь себя: сумма минус одно слагаемое должна дать другое, например, 13 − 5 = 8.

При проверке вычитания могут сложить уменьшаемое с вычитаемым. Но исходное целое число образуется из разности и вычитаемого, а не из уменьшаемого и вычитаемого. Ошибка возникает, когда путают числа из исходного примера и проверочного равенства. Запиши формулу словами: разность плюс вычитаемое равно уменьшаемому.

При повторном вычитании иногда вычитают уменьшаемое из разности. В таком порядке нужная часть не восстанавливается: проверка должна начинаться с уменьшаемого, из которого вычитают найденную разность. Путаница связана с тем, что названия компонентов забывают или читают пример не слева направо. Перед вычислением назови числа: уменьшаемое минус разность должно дать вычитаемое.

Ещё одна ошибка — выполнить проверочное действие, но не сравнить результат с исходным числом. Ученик может увидеть, что сложение или вычитание сделано, и преждевременно решить, что ответ верен. Однако сама запись проверочного действия ничего не подтверждает, пока не получено нужное число. Сравни результаты точно: 900 и 910, например, не совпадают, даже если отличаются всего на 10.

Связь с другими темами

Для проверки нужно знать названия компонентов сложения и вычитания и уметь выполнять сами действия. Если перепутать слагаемое с суммой или уменьшаемое с вычитаемым, можно составить неверное проверочное равенство. Поэтому сначала полезно определить роль каждого числа в примере. Затем уже выбирать обратное действие и сравнивать результат.

Этот способ пригодится при письменных вычислениях, когда действия выполняются по разрядам и легко допустить ошибку в переносе или заимствовании. Проверка помогает убедиться в ответе задачи и найти неверный результат при решении уравнения. Она особенно полезна после вычислений с большими числами. Если проверка не сошлась, можно заново разобрать действия по шагам.

Что запомнить

• Сложение проверяют вычитанием.
• Из суммы вычитают одно слагаемое — получают другое.
• Вычитание проверяют сложением: разность плюс вычитаемое равно уменьшаемому.
• Вычитание можно проверить и вычитанием: из уменьшаемого вычесть разность.
• Проверочное действие должно привести к исходному компоненту.
• Если проверка не сходится, нужно повторно проверить вычисления.