"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Скорость сближения показывает, насколько за единицу времени сокращается расстояние между движущимися объектами. Она помогает понять, когда встретятся пешеходы, автомобили или другие участники движения. Если объекты едут навстречу, их скорости складывают: расстояние уменьшают оба. Если один догоняет другого, скорости вычитают: сближение зависит от того, насколько быстрее движется догоняющий. Зная скорость сближения и начальный промежуток, можно найти время до встречи или догоняния.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скорость сближения — скорость, с которой уменьшается расстояние между движущимися объектами. Иначе говоря, она показывает, на сколько километров или метров расстояние сокращается за единицу времени. Эту величину используют, чтобы определить, как быстро объекты приближаются друг к другу и сколько времени осталось до встречи.
Встречное движение — движение объектов навстречу друг другу. За одинаковое время каждый проходит часть расстояния между ними, поэтому промежуток сокращается за счёт пути обоих. Это помогает понять, почему при таком движении скорости нужно складывать.
Движение вдогонку происходит, когда объекты движутся в одном направлении, а находящийся позади пытается догнать того, кто впереди. Расстояние между ними сокращается, только если догоняющий проходит за то же время больший путь. Поэтому для расчёта сближения сравнивают скорости, а не складывают их.
Скорость удаления — скорость, с которой увеличивается расстояние между объектами. Она описывает изменение промежутка в противоположную сторону по сравнению со скоростью сближения. Если направление движения меняется так, что объекты начинают расходиться, вместо уменьшения расстояния рассматривают его увеличение за единицу времени.
При встречном движении удобно представить начальное расстояние как отрезок между объектами. За один час каждый проходит часть этого отрезка навстречу другому, и обе части вместе убирают из расстояния больше, чем путь одного объекта. Поэтому при скоростях v₁ и v₂ расстояние за время t уменьшается на (v₁ + v₂)t. Скорость сближения в этой ситуации равна v₁ + v₂.
При движении вдогонку оба объекта направлены в одну сторону. За одинаковое время впереди идущий тоже успевает продвинуться, поэтому догоняющий сокращает промежуток не на весь свой путь, а только на превышение своего пути над путём другого. Если скорость догоняющего равна v₁, а впереди идущего — v₂, то при v₁ > v₂ расстояние уменьшается на (v₁ − v₂)t. Значит, скорость сближения здесь равна разности скоростей.
Формулы можно проверить по изменению расстояния, а не запоминать отдельно. При встрече начальный промежуток S становится меньше на пути, пройденный первым, и на путь второго: остаток равен S − (v₁ + v₂)t. При догонянии из пути быстрого участника вычитают путь медленного, и остаток равен S − (v₁ − v₂)t. Так видно, почему знак между скоростями зависит от направления движения.
Чтобы найти время до встречи или догоняния, нужно начальное расстояние разделить на скорость сближения: t = S / vсбл. Например, если расстояние задано в километрах, а скорость — в километрах в час, результат получится в часах. Если единицы не согласованы, сначала переведи величины: нельзя напрямую делить километры на метры в секунду и считать ответ часами. Проверка проста: скорость сближения, умноженная на найденное время, должна дать начальный промежуток.
Иногда расстояние вовсе не сокращается. Если два объекта едут в одном направлении с одинаковыми скоростями, то за любое одинаковое время они проходят равные пути, а разница между этими путями равна нулю. Скорость сближения тоже равна нулю, поэтому расстояние остаётся прежним. Если же впереди идущий движется быстрее, объекты не сближаются, а удаляются.
| Ситуация | Как меняется расстояние | Скорость сближения |
|---|---|---|
| Движение навстречу друг другу | Уменьшается на сумму путей объектов за одно и то же время | v₁ + v₂ |
| Движение в одном направлении, догоняющий быстрее | Уменьшается на разность путей; промежуток сокращается | v₁ − v₂, где v₁ — скорость догоняющего |
| Движение в одном направлении, скорости равны | Не меняется, потому что объекты проходят равные пути | 0 |
| Единицы измерения скорости сближения | Показывают изменение расстояния за единицу времени | Например, км/ч или м/с |
Сначала выбери строку, которая соответствует направлениям движения и тому, кто движется быстрее. Затем используй указанную формулу для скорости сближения и проверь, что обе скорости выражены в одинаковых единицах. В последней строке таблицы приведены единицы самой скорости, а не времени встречи.
Задача 1. Два пешехода вышли одновременно из пунктов, расстояние между которыми 12 км, и пошли навстречу со скоростями 4 км/ч и 2 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Поскольку пешеходы идут навстречу, за каждый час расстояние между ними уменьшается на сумму их путей.
Ответ: через 2 часа.
Задача 2. Велосипедист едет впереди мотоциклиста со скоростью 18 км/ч, а мотоциклист движется в том же направлении со скоростью 30 км/ч. Начальный промежуток между ними — 6 км. Чтобы найти время догоняния, учитываем, что велосипедист всё это время продолжает ехать вперёд.
Ответ: мотоциклист догонит велосипедиста через 0,5 часа, или 30 минут.
Задача 3. Расстояние между двумя пунктами — 54 км. Одновременно навстречу друг другу выехали автобус со скоростью 48 км/ч и автомобиль со скоростью 60 км/ч. Нужно определить время встречи и путь каждого. Сначала найдём, насколько за один час вместе они сокращают расстояние, а затем отдельно вычислим пути.
Ответ: встретятся через 0,5 часа; автобус проедет 24 км, автомобиль — 30 км.
При встречном движении иногда вычитают скорости, потому что вспоминают правило для движения вдогонку. Но здесь оба участника сокращают один и тот же промежуток, каждый со своей стороны, поэтому их пути складываются. Проверь себя: за час расстояние должно уменьшиться на путь первого плюс путь второго. Если в формуле получена разность, для встречного движения выбран неверный знак.
При движении вдогонку могут сложить скорости, поскольку оба объекта движутся. Однако они направлены в одну сторону, и впереди идущий успевает пройти часть пути, пока его догоняют. Для проверки сравни, на сколько метров или километров сближаются участники за час: это путь быстрого минус путь медленного. Сумма дала бы величину, не соответствующую изменению промежутка.
Ещё одна ошибка — вычесть скорость впереди идущего из скорости догоняющего в неправильном порядке. Если результат отрицательный, значит, выбранный «догоняющий» на самом деле медленнее и расстояние не сокращается. Сначала определи, кто едет быстрее, затем вычти меньшую скорость из большей. Проверка по условию должна подтверждать, что именно этот участник находится позади и догоняет.
Время иногда находят, разделив скорость сближения на расстояние, или забывают согласовать единицы. Это неверно: скорость показывает расстояние за время, поэтому для нахождения времени расстояние делят на скорость. Например, километры делят на километры в час и получают часы. Проверить результат можно обратным действием: умножить скорость сближения на время и сравнить с начальным расстоянием.
Для решения задач нужно уметь пользоваться формулами движения: путь равен скорости, умноженной на время, а время можно найти делением пути на скорость. Также важно переводить километры в метры, часы в минуты и согласовывать единицы перед вычислениями. Скорость сближения применяется в задачах на встречное движение и движение вдогонку, где удобно составлять равенство по изменению расстояния. Понятие относительной скорости помогает сравнивать движение объектов в одном направлении и в противоположных направлениях.
Почему при движении навстречу скорости нужно складывать?
За одно и то же время каждый объект проходит часть расстояния между ними. Поэтому расстояние сокращается на сумму пройденных ими путей, а скорость сближения равна сумме скоростей.
Почему при движении вдогонку скорости вычитают?
Оба объекта движутся в одну сторону, поэтому часть пути догоняющего как бы компенсируется движением впереди идущего. Расстояние уменьшается только на разность пройденных путей.
Как понять, какую скорость вычитать из какой?
При догонянии скорость сближения находят так: скорость догоняющего минус скорость впереди идущего. Догоняющий должен двигаться быстрее, поэтому результат будет положительным.
Что делать, если объекты начали движение не одновременно?
Сначала найди, какое расстояние было между объектами к моменту начала движения второго. Для этого учти путь, который первый объект успел пройти за время задержки, а затем раздели полученное расстояние на скорость сближения.
Может ли скорость сближения быть равна нулю?
Да, если объекты едут в одном направлении с одинаковыми скоростями, расстояние между ними не меняется. В таком случае догоняния не произойдёт, пока скорости остаются равными.
28. Скорость сближения
