"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Скорость удаления показывает, насколько быстро увеличивается расстояние между движущимися объектами. Она зависит не только от скорости каждого объекта, но и от направления движения: при движении навстречу или в разные стороны скорости складывают, а при движении в одном направлении обычно находят их разность. Зная скорость изменения расстояния и время, можно вычислить, насколько изменится промежуток между объектами. Эти правила помогают решать задачи о пешеходах, велосипедистах и автомобилях, в том числе если между ними уже было расстояние в начале движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скорость удаления — скорость, с которой увеличивается расстояние между двумя движущимися объектами. Например, если за час промежуток вырос на 9 км, скорость удаления равна 9 км/ч. Она нужна, чтобы определить, как быстро объекты расходятся и каким станет расстояние между ними через заданное время.
Скорость сближения — скорость, с которой уменьшается расстояние между объектами. Если за час промежуток сократился на 5 км, скорость сближения составляет 5 км/ч. Это понятие помогает рассчитать, сколько времени потребуется объектам, чтобы встретиться или чтобы один догнал другой.
Относительная скорость — скорость изменения расстояния между объектами, то есть скорость их удаления или сближения. Она не обязательно совпадает со скоростью любого из объектов: её находят с учётом скоростей обоих и направлений движения. Обозначим скорости объектов как v₁ и v₂, время — как t, а начальное расстояние — как s₀. Тогда изменение расстояния равно относительной скорости, умноженной на время.
За каждый час движущиеся объекты проходят определённые пути, а расстояние между ними меняется на основе этих путей. Если скорость изменения промежутка равна vотн, то за t часов он изменится на vотн · t. Это следует из обычного правила нахождения пути: скорость умножают на время. Единицы должны быть согласованы: например, скорость в километрах в час сочетают со временем в часах.
Когда объекты движутся в противоположных направлениях, каждый из них удаляется от другого. За один час расстояние между ними увеличивается сразу на путь первого и на путь второго, поэтому скорости складывают. Например, при скоростях 4 км/ч и 5 км/ч промежуток растёт на 9 км за час. Если объекты стартовали из одной точки, это и есть расстояние между ними через час.
При движении в одном направлении оба объекта перемещаются в одну сторону, поэтому общий путь каждого не равен изменению промежутка. Если передний объект движется быстрее, он за одинаковое время проходит больше, чем задний, и расстояние растёт на разность пройденных путей. Значит, скорость удаления равна разности скоростей. Если же быстрее задний объект, промежуток сокращается с этой же разностью — так находят скорость сближения.
Чтобы понять, удаляются объекты или сближаются, сначала выясняют, в каком направлении движется каждый, а затем сравнивают скорости. В противоположных направлениях расстояние увеличивается; в одном направлении результат зависит от того, кто движется быстрее. Одного знания направлений иногда недостаточно: при движении в одну сторону важно определить, какой объект впереди и каковы обе скорости. Такое рассуждение помогает выбрать правильное действие до подстановки чисел.
Начальное расстояние тоже влияет на ответ. Если оно равно s₀, то при удалении через время t получим s = s₀ + vотн · t, а при сближении — s = s₀ − vотн · t. При старте из одной точки s₀ = 0, поэтому остаётся только произведение скорости на время. В задачах на догоняние сближение длится до тех пор, пока начальный промежуток не сократится до нуля.
Пользуйся таблицей после того, как определил направление движения и расположение объектов. Для движения в одну сторону сравни скорости: разность покажет, насколько меняется промежуток за единицу времени. В последней строке таблицы скорость уже найдена, поэтому по ней можно рассчитать расстояние с учётом начального значения.
| Ситуация | Направления движения | Скорость изменения расстояния |
|---|---|---|
| Объекты движутся в противоположных направлениях | В разные стороны | Сумма скоростей: v₁ + v₂; расстояние увеличивается |
| Объекты движутся в одном направлении, передний быстрее | В одну сторону | Разность скоростей: vпереднего − vзаднего; расстояние увеличивается |
| Объекты движутся в одном направлении, задний быстрее | В одну сторону | Разность скоростей: vзаднего − vпереднего; расстояние уменьшается |
| Связь расстояния и времени | Удаление или сближение | Изменение расстояния: vотн · t; конечное расстояние: начальное ± изменение |
Два пешехода одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях. Скорость первого равна 4 км/ч, второго — 5 км/ч. Нужно найти расстояние между ними через 2 часа.
Ответ: через 2 часа пешеходы будут на расстоянии 18 км друг от друга.
Два велосипедиста едут в одном направлении, причём задний быстрее переднего. Скорость переднего равна 18 км/ч, скорость заднего — 23 км/ч, начальный промежуток составляет 2 км. Требуется узнать, через сколько времени задний догонит переднего.
Ответ: задний велосипедист догонит переднего через 24 минуты.
Два автомобиля одновременно выехали из одного пункта в противоположных направлениях. Через 3 часа расстояние между ними стало 390 км, скорость первого автомобиля равна 60 км/ч. Нужно определить скорость второго автомобиля.
Ответ: скорость второго автомобиля равна 70 км/ч.
Первая ошибка — складывать скорости при движении в одном направлении. Так делают, потому что оба объекта действительно движутся, но общий путь здесь не равен изменению промежутка: один объект частично «повторяет» движение другого. Нужно взять разность скоростей и проверить, кто быстрее. Сложение подходит для объектов, движущихся в противоположных направлениях.
Вторая ошибка — вычитать скорости при движении в противоположных направлениях. Часто ученики переносят сюда правило для движения в одну сторону, хотя каждый объект увеличивает расстояние до другого. Проверь себя: за час в промежуток входят пути обоих объектов, значит, скорости складываются. Если один из объектов остановится, скорость удаления станет равна скорости движущегося.
Третья ошибка — принимать скорость удаления за скорость одного объекта. Путают эти величины, потому что обе измеряются, например, в километрах в час. Но скорость удаления описывает изменение расстояния между двумя объектами, поэтому зависит от обоих движений. Проверка: отдельно рассмотрите, сколько за час прибавил бы к промежутку каждый объект.
Четвёртая ошибка — считать расстояние только как скорость, умноженную на время, даже если объекты начали движение не из одной точки. Это выражение даёт лишь изменение промежутка, а начальное расстояние может быть ненулевым. Запишите его отдельно и прибавьте при удалении или вычтите при сближении. Проверить результат можно по смыслу: при сближении расстояние должно уменьшаться, а не расти.
Для решения таких задач нужно уметь находить путь по скорости и времени и переводить величины в согласованные единицы. Например, если скорость дана в км/ч, время следует выразить в часах, а расстояние — в километрах. Эта тема продолжает изучение задач на движение: изменение промежутка рассматривают как движение одного объекта относительно другого. Такие рассуждения пригодятся при изучении относительной скорости и систем уравнений, когда скорость или время неизвестны.
Чем скорость удаления отличается от скорости одного из движущихся объектов?
Скорость объекта показывает, какой путь он проходит за единицу времени. Скорость удаления показывает, насколько за это время меняется расстояние между двумя объектами. Она зависит от скоростей обоих объектов и направлений их движения.
Почему при движении в противоположных направлениях скорости складывают?
За один и тот же промежуток времени оба объекта удаляются друг от друга. Поэтому расстояние между ними увеличивается на сумму путей, которые они прошли, а скорость удаления равна сумме их скоростей.
Когда для нахождения скорости удаления нужно вычитать скорости?
Когда объекты движутся в одном направлении, скорость изменения расстояния находят как разность их скоростей. Если передний объект быстрее, расстояние растёт; если быстрее задний, оно уменьшается, и это скорость сближения.
Как найти расстояние между объектами через несколько часов?
Сначала определите, увеличивается расстояние или уменьшается, и найдите скорость его изменения. Умножьте эту скорость на время и прибавьте результат к начальному расстоянию при удалении либо вычтите при сближении.
Что делать, если объекты начали движение не из одной точки?
Учитывайте расстояние, которое уже было между ними в начале движения. При удалении прибавьте к нему произведение скорости удаления на время, а при сближении вычтите произведение скорости сближения на время.
30. Скорость удаления
