"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Умножение на трёхзначное число помогает находить произведение больших натуральных чисел, не умножая сразу на весь множитель. Его раскладывают на сотни, десятки и единицы, отдельно выполняют умножение на каждое разрядное слагаемое, а затем складывают результаты. В записи столбиком важно правильно сдвигать неполные произведения и не терять переносы. Проверка прикидкой помогает заметить ошибку.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Трёхзначный множитель — число, записанное тремя цифрами. Его можно представить как сумму сотен, десятков и единиц: например, 132 = 100 + 30 + 2. Такое разложение помогает умножать не на всё число сразу, а по разрядам. Поэтому легче увидеть, откуда берутся отдельные части ответа.
Разрядное слагаемое — слагаемое, соответствующее одному разряду числа. Например, 324 = 300 + 20 + 4, где 300 — сотни, 20 — десятки, а 4 — единицы. Разложение показывает значение каждой цифры, а не только её место в записи. Оно нужно, чтобы точно учесть вклад каждой цифры множителя.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на одно разрядное слагаемое второго множителя. В выражении 246 · 132 такими результатами будут 246 · 2, 246 · 30 и 246 · 100. Каждое из них — часть будущего ответа. Их находят отдельно, а затем складывают.
Умножение столбиком на трёхзначное число — способ найти произведение, последовательно умножая на разрядные слагаемые и складывая неполные произведения. Цифры в столбике располагают так, чтобы единицы, десятки и сотни оказались на своих местах. Этот способ удобен, когда числа велики и устный счёт становится сложным. Он также помогает следить за переносами между разрядами.
Трёхзначный множитель удобно разложить на сотни, десятки и единицы, потому что умножение распределяется относительно сложения. Если 132 = 100 + 30 + 2, то 246 · 132 = 246 · (100 + 30 + 2) = 246 · 100 + 246 · 30 + 246 · 2. Так сложное действие заменяется тремя более простыми. После их выполнения остаётся сложить результаты.
Сначала умножают первый множитель на цифру единиц, затем на цифру десятков и на цифру сотен. При этом цифру десятков рассматривают как число десятков, а цифру сотен — как число сотен: например, 3 во втором разряде множителя 132 означает 30, а 1 в третьем — 100. В столбике сами цифры удобно перемножить отдельно, а их разрядное значение учесть сдвигом. Поэтому строки неполных произведений занимают разные позиции.
При умножении на десятки неполное произведение сдвигают на один разряд влево, потому что каждая единица результата относится к десяткам, а не к единицам. Например, 246 · 30 = 7380: значение записи увеличилось в десять раз по сравнению с 246 · 3. При умножении на сотни нужен сдвиг на два разряда, так как результат относится к сотням. Это равносильно умножению на 100, поэтому строка начинается на два места левее.
Сложение неполных произведений даёт искомое произведение, потому что разрядные части вместе составляют весь множитель. В примере 132 = 100 + 30 + 2, значит, сумма 246 · 100, 246 · 30 и 246 · 2 равна 246 · 132. При сложении складывают соответствующие разряды и учитывают переносы. Если пропустить сдвиг, части окажутся не в тех разрядах и сумма изменится.
Переносы возникают, когда при умножении или сложении в разряде получается 10 или больше. В столбике записывают цифру единиц, а десятки переносят к следующему разряду; важно прибавить их именно там. После вычисления полезно прикинуть ответ, округлив множители, или проверить делением. Прикидка показывает порядок величины и помогает заметить, если, например, потерян разряд.
| Шаг | Действие | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Умножение на цифру единиц | Умножить первый множитель на цифру единиц второго. | Записать результат в строке единиц; переносы прибавлять к следующему разряду. |
| Умножение на цифру десятков | Умножить на цифру десятков второго множителя. | Сдвинуть строку на один разряд влево, поскольку цифра означает десятки. |
| Умножение на цифру сотен | Умножить на цифру сотен второго множителя. | Сдвинуть строку на два разряда влево, поскольку цифра означает сотни. |
| Сложение неполных произведений | Сложить полученные строки. | Совместить разряды и не потерять перенос при сложении. |
| Проверка результата | Оценить ответ прикидкой или выполнить обратное действие. | Сравнить порядок величины либо разделить произведение на множитель. |
Двигайтесь по строкам таблицы сверху вниз: сначала найдите частичные результаты, затем сложите их. Сдвиг показывает разрядное значение цифры, на которую выполняется умножение. В конце проверьте, что ответ имеет подходящий порядок величины.
Задача. Вычислите 246 · 132, записав вычисления столбиком. Сначала разложим множитель 132 на 100, 30 и 2. Значит, нужно найти три неполных произведения и сложить их, соблюдая сдвиг для десятков и сотен.
Ответ: 32 472. Смысл сдвига можно проверить умножением на разрядные слагаемые: 246 · 2, 246 · 30 и 246 · 100.
Задача. Вычислите 308 · 204. В множителе 204 десятков нет, поэтому нулевое неполное произведение можно не записывать. Но между единицами и сотнями остаётся разрядный промежуток, который нельзя потерять.
Ответ: 62 832. Ноль в разряде десятков не меняет величину слагаемого, но его положение объясняет, почему сотенное произведение записано со сдвигом на два разряда.
Задача. Вычислите 578 · 346 и оцените, правдоподобен ли ответ. Здесь все цифры множителя ненулевые, а при умножении встречаются переносы. Поэтому проверим разряды в каждом частичном результате, а затем сравним ответ с прикидкой.
Ответ: 199 988. Прикидка не подтверждает каждую цифру, но показывает, что порядок величины найден верно и потерянного разряда, вероятно, нет.
Неполное произведение от цифры десятков иногда записывают без сдвига. Так происходит, если забыть, что, например, 4 во втором разряде означает 40, а не 4. Тогда результат получается меньше нужного в десятки раз. Проверьте себя, отдельно записав множитель как сумму разрядных слагаемых.
При умножении на сотни строку могут сдвинуть на один разряд вместо двух. Причина — попытка считать цифру сотен как десятки или просто потеря места в записи. Сверьте с разложением: умножение на сотни означает умножение на число вида 100, 200 или 300. Прикидка часто показывает, что ответ стал слишком маленьким.
Перенос можно потерять или прибавить не к тому разряду. Обычно это случается, когда ученик сосредоточен на следующем умножении и забывает сохранённые десятки. Записывайте перенос над тем разрядом, к которому его нужно прибавить, и проверяйте каждое умножение отдельно. Затем пересчитайте столбик, начиная с младшего разряда.
Нулевую цифру множителя иногда не учитывают и из-за этого сдвигают следующую строку неправильно. Ноль сам даёт нулевое произведение, но его место сохраняет разрядный порядок числа. Например, в 204 цифра 2 обозначает сотни, хотя между ней и 4 стоит ноль. Проверьте расположение строк по разложению множителя: 204 = 200 + 0 + 4.
Для умножения столбиком нужны знание таблицы умножения и умение письменно умножать на однозначное число. Каждый разрядный шаг сводится именно к такому умножению, а переносы знакомы по письменным вычислениям. Также важно понимать разрядный состав многозначных чисел: он объясняет, почему 3 в числе 132 означает 30.
Умение умножать на трёхзначное число пригодится при письменном умножении многозначных чисел и в вычислениях с натуральными числами. Тот же принцип работает и при большем количестве разрядов: множитель раскладывают на разрядные слагаемые, находят неполные произведения и складывают их. Освоив этот способ, проще проверять и организовывать длинные вычисления.
Почему при умножении на десятки неполное произведение записывают со сдвигом?
Цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а число десятков. Поэтому результат умножения на эту цифру нужно умножить ещё на 10: в записи столбиком неполное произведение сдвигают на один разряд влево. Например, умножение на 3 десятка означает умножение на 30.
Нужно ли записывать ноль в конце неполного произведения?
Если записывать неполные произведения со сдвигом, ноль в конце обычно не пишут: нужное место показывает расположение цифр в столбике. При записи в строку ноль может понадобиться, чтобы обозначить десятки или сотни, например 246 · 30 = 7380. Главное — не потерять разряд.
Что делать, если при умножении цифр получается двузначное число?
В разряде записывают цифру единиц полученного числа, а цифру десятков переносят в следующий разряд. Перенос прибавляют при следующем умножении. Например, если 6 · 8 = 48, записывают 8, а 4 переносят.
Как умножать, если в трёхзначном множителе есть ноль?
На нулевую цифру получают нулевое неполное произведение. Его можно не записывать, но разряд нуля нужно учесть: следующий ненулевой результат должен стоять на своём месте. Удобно мысленно сохранять строку для пропущенного разряда.
Как проверить результат умножения столбиком?
Сначала оцените ответ прикидкой: округлите множители и сравните примерный результат с полученным. Например, 578 · 346 близко к 600 · 350 = 210 000, поэтому ответ около 200 000 выглядит правдоподобно. Точнее проверить можно обратным действием: разделить произведение на один из множителей.
31. Умножение на трехзначное число
