35. Практикум по решению текстовых задач

Определения и обозначения

Текстовая задача — задача, в которой условие описывает жизненную или учебную ситуацию, а данные связаны словами. Например, в условии могут сообщаться цена и количество покупки или расстояние и скорость движения. Это определение помогает отличить задачу от готового примера: сначала нужно понять словесные связи, а уже потом выбирать действия.

Величина — характеристика объекта или процесса, которую можно выразить числом и единицей измерения. Длина измеряется, например, в сантиметрах, а время — в минутах. Важно отличать величину от её значения: «время» — величина, а «5 минут» — её значение; это помогает не смешивать разные данные.

Математическая модель задачи — запись ситуации с помощью выражений, уравнений, отношений или схем, позволяющая найти неизвестное. В модели остаются только нужные для решения связи, например равенство общей суммы частей. Она нужна, чтобы превратить условие в понятные математические действия, не теряя его смысл.

Проверка решения — сопоставление полученного результата с условием задачи и смыслом описанной ситуации. При проверке можно подставить найденное число в уравнение, а затем оценить, реалистично ли оно. Это помогает заметить ошибки, которые могли остаться незамеченными при вычислениях.

Как это устроено

Разбор начинают с внимательного чтения условия, потому что отдельные числа сами по себе ещё не показывают, какое действие нужно выполнить. Выдели, что известно, что требуется найти и какие величины участвуют в ситуации. Полезно отметить слова, задающие связь: «всего», «на столько больше», «в несколько раз», «за каждый». После этого перескажи задачу своими словами: если смысл пересказать не получается, условие стоит прочитать ещё раз.

Краткая запись, таблица или схема помогают упорядочить данные, особенно когда величин и этапов несколько. В них удобно рядом указать названия величин, известные значения и то, что пока неизвестно. Это позволяет увидеть зависимость, например что общий путь состоит из двух участков. Но запись не должна становиться просто набором чисел: подпиши, к чему относится каждое число и в каких единицах оно дано.

Неизвестную величину обычно обозначают переменной — буквой, чаще всего x. Выбирай такую величину, через которую удобно выразить остальные данные: например, если известна цена нескольких одинаковых предметов, удобно обозначить цену одного. Тогда общую стоимость можно представить произведением цены на количество. Обозначение должно быть понятным, а его смысл и единицу измерения лучше записать рядом, иначе при составлении уравнения легко перепутать величины.

Математическую модель составляют из отношений, описанных в условии, а не просто из чисел, встретившихся в тексте. Для движения связывают расстояние, скорость и время: время находят делением расстояния на скорость. В задаче о частях и целом части складывают, чтобы получить общее количество. Прежде чем записывать равенство, проверь, что его левая и правая стороны действительно выражают одну и ту же величину.

После составления модели решают уравнение или выполняют нужные действия, сохраняя единицы измерения. Найденное значение сначала проверяют подстановкой: равенство должно выполняться, а все связи модели — сохраняться. Затем оценивают смысл результата: может ли он быть отрицательным, дробным или больше общего количества предметов. В конце формулируют ответ именно на поставленный вопрос, а не только записывают число.

Этапы решения текстовой задачи

Пользуйся таблицей как маршрутом: переходи к следующему этапу, когда можешь ответить на контрольный вопрос. Не для каждой задачи нужна отдельная схема, но вопрос о данных и неизвестном полезно задать всегда. Если на этапе проверки ответ не подходит, вернись к модели и найди связь, которую мог записать неверно.

Разбор задач

Задача 1. За 3 одинаковые тетради заплатили 180 рублей. Сколько стоит одна тетрадь? Ищем цену одного предмета, а общая стоимость относится ко всем трём тетрадям. Поэтому нужно разделить общую сумму на количество одинаковых предметов.

1. Обозначим цену одной тетради через x рублей.
2. Стоимость трёх тетрадей равна 3x, а по условию она составляет 180 рублей. Получаем уравнение 3x = 180.
3. Разделим обе части уравнения на 3: x = 60. Проверка: 3 · 60 = 180, значит, общая стоимость верна.

Ответ: одна тетрадь стоит 60 рублей. Деление здесь подходит потому, что цена у всех тетрадей одинакова, а сумма складывается из трёх равных частей. Если бы предметы стоили по-разному, одной этой информации для нахождения каждой цены не хватило бы.

Задача 2. Пешеход прошёл 12 км со скоростью 4 км/ч, а затем ещё 9 км со скоростью 3 км/ч. Сколько времени занял весь путь? Скорость на двух участках различается, поэтому нельзя делить весь путь на одну из этих скоростей. Сначала найдём время отдельно для каждого участка, а затем сложим его.

1. На первом участке время равно расстоянию, делённому на скорость: 12 : 4 = 3 часа.
2. На втором участке время равно 9 : 3 = 3 часа. При вычислении каждый раз используем скорость именно этого участка.
3. Общее время складывается из времени двух частей пути: 3 + 3 = 6 часов. Проверка показывает, что учтены оба участка и единицы результата — часы.

Ответ: весь путь занял 6 часов. Здесь сложить нужно времена, потому что пешеход проходил участки один за другим. Складывать скорости или делить общее расстояние на случайно выбранную скорость было бы неверно.

Задача 3. В двух коробках 54 карандаша. В первой коробке карандашей вдвое больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке? Количество в первой коробке зависит от количества во второй, поэтому достаточно обозначить одну из этих величин. Выберем количество карандашей во второй коробке: тогда в первой будет в два раза больше.

1. Пусть во второй коробке x карандашей. Тогда в первой коробке 2x карандашей.
2. Сложим количества в коробках, потому что вместе они дают 54: x + 2x = 54.
3. Получаем 3x = 54, откуда x = 18. Значит, в первой коробке 2 · 18 = 36 карандашей.
4. Проверим: 18 + 36 = 54, а 36 вдвое больше 18. Оба условия выполняются.

Ответ: в первой коробке 36 карандашей, во второй — 18. Проверка по двум условиям нужна потому, что ответ должен одновременно давать общее количество и сохранять отношение «вдвое больше». Если проверить только сумму, можно не заметить неверное распределение.

Типичные ошибки

Начинать вычисления до выяснения вопроса задачи. Тогда можно найти промежуточную величину и принять её за ответ. Это происходит, когда числа в условии сразу подталкивают к знакомому действию. Перед вычислениями сформулируй вопрос задачи своими словами и после решения сверь ответ именно с ним.

Составлять уравнение, не сверяя его с отношениями в условии. Числа могут быть записаны правильно, но соединены неверным действием: например, части сложены вместо того, чтобы сравнить их. Такая ошибка возникает, если ориентироваться только на слова вроде «больше» или «всего». Проверь, что каждая часть уравнения обозначает, и прочитай его как предложение о ситуации.

Складывать или сравнивать величины с разными единицами. Например, нельзя сразу складывать 2 метра и 30 сантиметров как 2 + 30. Часто единицы упускают из виду, потому что при записи сосредоточиваются на числах. Перед действием переведи значения в одинаковые единицы, а после вычисления проверь единицу результата.

Записывать корень уравнения как ответ без проверки. Полученное число может не соответствовать ситуации: например, количество предметов не может быть отрицательным. Так происходит, если считать, что решение уравнения автоматически завершает задачу. Подставь значение в модель, проверь смысл и убедись, что оно отвечает на исходный вопрос.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны действия с натуральными, целыми и дробными числами, а также умение переводить величины в одинаковые единицы. Уравнения и выражения помогают записывать связи между данными и становятся основой дальнейшего изучения алгебры. Те же приёмы используются в геометрии и физике, когда требуется связать несколько величин. Они пригодятся и в повседневных расчётах: например, при сравнении стоимости покупок или планировании времени.

Что запомнить

• Сначала выясни, что известно и что требуется найти.
• При необходимости представь условие в виде краткой записи, таблицы или схемы.
• Обозначай неизвестную величину так, чтобы удобно было выразить остальные.
• Уравнение должно точно отражать связи, заданные в условии.
• После решения проверь вычисления и смысл полученного значения.
• В ответе укажи найденную величину и её единицу измерения.