Многоугольник

Определения и обозначения

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений. Ломаная состоит из отрезков-звеньев, а замкнутая ломаная возвращается в исходную точку. Это определение помогает отличить многоугольник от незамкнутой или пересекающей себя линии.

Вершины многоугольника — концы звеньев ломаной, а стороны — сами звенья. Обычно вершины обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B, C, а сторону записывают как AB или BC. По вершинам можно описать границу фигуры и посчитать её стороны.

Диагональ — отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника. Несоседними называют вершины, которые не соединены одной стороной. Диагонали нужны, чтобы делить многоугольник на более простые фигуры, например треугольники.

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, расположенный по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Если хотя бы для одной стороны часть фигуры находится по другую сторону такой прямой, многоугольник невыпуклый. Критерий позволяет проверить выпуклость не только по внешнему виду, но и строго.

Как это устроено

Замкнутость ломаной необходима потому, что только тогда звенья образуют непрерывную границу фигуры. У незамкнутой ломаной остаются свободные концы, поэтому внутренняя область не ограничена полностью. Например, угол или незаконченная линия многоугольником не являются.

Самопересечения также запрещены: при пересечении звеньев внутри границы появляются дополнительные места встречи, не являющиеся соседними вершинами. Из-за этого трудно однозначно определить, какая область считается внутренней. Ломаная в форме восьмёрки или звезда с пересекающимися звеньями поэтому не задаёт обычный многоугольник.

В замкнутой ломаной каждая сторона начинается в одной вершине и заканчивается в другой, а следующая сторона продолжается из этой точки. Поэтому у каждой стороны есть две соседние вершины. При обходе контура число звеньев и число вершин всегда одинаково.

Чтобы отличить сторону от диагонали, сначала сравнивают концы отрезка. Если это соседние вершины, отрезок является стороной и лежит на границе. Если вершины разделены хотя бы одной другой вершиной, отрезок является диагональю, потому что соединяет несоседние точки контура.

Название многоугольника зависит от числа его сторон: три стороны — треугольник, четыре — четырёхугольник, пять — пятиугольник, шесть — шестиугольник. Дальше используют названия «семиугольник», «восьмиугольник» и другие. Такое название сразу сообщает, сколько у фигуры сторон и вершин.

Выпуклость проверяют по каждой стороне, мысленно продолжая её в обе стороны до прямой. Если вся фигура лежит в одной из двух полуплоскостей, образованных этой прямой, условие выполнено для данной стороны. Для выпуклого многоугольника так происходит с каждой стороной, а у невыпуклого найдётся хотя бы одна сторона, нарушающая условие.

Элементы многоугольника

Пользуйтесь таблицей при разборе рисунка: сначала найдите замкнутый контур и его точки, затем различите отрезки границы и отрезки внутри фигуры. Если соединены соседние вершины, перед вами сторона, а если несоседние — диагональ.

Внутренняя область помогает понимать, где расположена сама фигура и проходят ли диагонали внутри неё. У выпуклого многоугольника каждая диагональ лежит во внутренней области или на её границе.

Разбор задач

Задача 1. Распознавание многоугольника

На рисунке изображены несколько замкнутых ломаных: одна не замкнута, вторая имеет пересекающиеся звенья, третья замкнута и не пересекает себя. Какие из них задают многоугольник? Нужно проверить оба условия определения, а не только внешний вид линии.

1. У первой ломаной найдём свободные концы. Поскольку контур не замыкается, она не является границей многоугольника.
2. У второй ломаной проверим звенья. Они пересекаются не в общей соседней вершине, поэтому условие отсутствия самопересечений нарушено.
3. Третья ломаная возвращается в начальную точку и нигде не пересекает себя. Значит, оба необходимых условия выполнены.

Ответ: многоугольник задаёт только третья ломаная. Первые две не подходят из-за незамкнутости и самопересечения.

Задача 2. Вершины и стороны пятиугольника

Дан пятиугольник ABCDE. Требуется назвать его вершины и стороны, а также указать их количество. Перечислять элементы нужно последовательно, двигаясь по контуру и возвращаясь к начальной точке.

1. Вершины уже обозначены буквами A, B, C, D, E. Их пять, потому что именно пять точек образуют углы и соединяются в замкнутую ломаную.
2. Стороны записываем по соседним вершинам: AB, BC, CD, DE. После DE контур замыкается отрезком EA.
3. Проверяем результат: для пяти вершин получилось пять сторон, как и должно быть у замкнутой ломаной.

Ответ: вершины A, B, C, D, E; стороны AB, BC, CD, DE, EA; всего 5 вершин и 5 сторон.

Задача 3. Диагонали и выпуклость шестиугольника

Рассмотрим шестиугольник ABCDEF. Нужно назвать диагонали, исходящие из вершины A, и определить выпуклость по условию: многоугольник должен лежать по одну сторону от прямой каждой своей стороны.

1. У вершины A соседние вершины B и F, поэтому AB и AF являются сторонами, а не диагоналями.
2. Из оставшихся вершин C, D, E получаем отрезки AC, AD, AE. Все они соединяют A с несоседними вершинами, значит, это диагонали.
3. Проверяем стороны шестиугольника. Если для каждой содержащей сторону прямой вся фигура остаётся в одной полуплоскости, он выпуклый; при нарушении хотя бы одного условия — невыпуклый.

Ответ: из вершины A выходят диагонали AC, AD и AE. Выпуклость определяется проверкой расположения фигуры относительно прямых всех шести сторон.

Типичные ошибки

Иногда многоугольником называют любую замкнутую линию. Так забывают, что граница должна быть именно ломаной и без самопересечений. Проверьте, состоит ли линия из отрезков и не пересекаются ли несоседние звенья.

Диагональю считают отрезок между любыми двумя вершинами. Ошибка возникает, если не проверить соседство концов: отрезок между соседними вершинами является стороной. Назовите вершины по порядку и убедитесь, что между концами диагонали есть хотя бы одна вершина.

Стороны и вершины иногда считают разное количество. Причина в том, что одну вершину могут пропустить при обходе контура или не учесть последнюю сторону, замыкающую фигуру. Для проверки начните с любой вершины и пройдите весь контур: каждое звено должно привести к следующей вершине.

Выпуклость определяют только по впечатлению от рисунка. Необычная форма может выглядеть выпуклой, а небольшой «вход» в контуре легко не заметить. Проведите мысленно прямую через каждую сторону и проверьте, находится ли вся фигура по одну её сторону.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужны понятия точки, отрезка и ломаной, а также умение обозначать точки буквами и называть отрезки. Эти знания позволяют читать контур фигуры и различать его элементы.

Многоугольники служат основой для дальнейшего изучения треугольников и четырёхугольников. Их стороны и вершины используют при нахождении периметра, а внутренняя область связана с вычислением площадей фигур.

Что запомнить

• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной без самопересечений.
• Вершины многоугольника — концы его сторон.
• Число вершин многоугольника равно числу его сторон.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.
• Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.
• Многоугольники называют по числу их сторон.