"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А.
Свойства вычитания помогают заменить сложное выражение более удобным, не меняя его значения. Сумму, которую вычитают из числа, можно вычитать по частям; число из суммы — вычесть из одного слагаемого; при вычитании разности меняется знак второго числа. Чтобы правильно применять эти правила, нужно следить за скобками и знаками. С их помощью проще считать устно и письменно, преобразовывать выражения и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уменьшаемое — число, из которого вычитают; в записи a − b это первое число. Например, в выражении 14 − 5 уменьшаемое равно 14. Понимание этого термина помогает определить, какое число уменьшается в результате действия.
Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого; оно стоит вторым в записи a − b. В выражении 14 − 5 вычитаемое равно 5. По этому слову можно понять, какое число нужно отнять и с каким знаком оно связано при преобразовании выражения.
Разность — результат вычитания, а также само выражение a − b. Например, в записи 14 − 5 = 9 число 9 — разность, а 14 − 5 — выражение, значение которого нужно найти. Термин позволяет различать действие и его результат.
Свойства вычитания — правила, по которым вычитание суммы или разности заменяют более удобными действиями. Они не меняют значение выражения, а помогают иначе записать вычисление. Такие правила особенно полезны, когда числа можно сгруппировать удобным образом.
Вычитание связано со сложением: a − b = c тогда и только тогда, когда c + b = a. Чтобы найти разность, нужно понять, какое число при сложении с вычитаемым даст уменьшаемое. Например, 13 − 4 = 9, потому что 9 + 4 = 13. Эта связь помогает проверять вычитание сложением и объясняет смысл разности.
При вычитании суммы из числа можно сначала вычесть одно слагаемое, а потом другое: a − (b + c) = a − b − c. Это работает потому, что сумма b + c состоит из двух частей, и убрать всю сумму можно, убрав обе части по очереди. Например, от числа 50 сначала отнять 10, а затем 3 — то же самое, что отнять 13. Скобки при раскрытии превращают знак перед суммой в минусы перед каждым слагаемым.
Если из суммы вычитают число, его можно отнять от одного слагаемого, а затем прибавить другое: (a + b) − c = (a − c) + b. Причина в том, что сумма складывается из частей: уменьшив одну часть на c, мы уменьшаем на c и всю сумму. Выбирают слагаемое, из которого вычислять удобнее, обычно не меньше вычитаемого. Вычитать c из обоих слагаемых нельзя: тогда сумма уменьшится на 2c.
В выражении a − (b − c) из a вычитают не просто b, а разность b − c. Эту разность можно представить как «вычесть b, затем вернуть c», поэтому получается a − b + c. Например, вычесть 8 − 3 — это сначала отнять 8, а затем прибавить 3. При раскрытии скобок знак каждого слагаемого внутри меняется: минус перед b становится минусом, а минус перед c — плюсом.
Скобки показывают, какие действия нужно выполнить вместе и какое выражение вычитают целиком. Если убрать скобки, не изменив знаки, можно получить другое значение: 20 − (6 + 2) = 12, а 20 − 6 + 2 = 16. Поэтому после знака минус перед скобками меняют знаки всех слагаемых внутри. Порядок действий и знаки нужно учитывать одновременно, а результат преобразования должен совпадать со значением исходной записи.
| Свойство | Буквенная запись | Как выполнять вычисление |
|---|---|---|
| Вычитание суммы из числа | a − (b + c) = a − b − c | Сначала вычесть один слагаемый, затем другой |
| Вычитание числа из суммы | (a + b) − c = (a − c) + b | Вычесть число из удобного слагаемого и прибавить остальные |
| Вычитание разности из числа | a − (b − c) = a − b + c | Вычесть уменьшаемое разности и прибавить её вычитаемое |
Сначала найдите в выражении сумму или разность в скобках, которую вычитают, и выберите соответствующее правило. Затем перепишите выражение, внимательно сохраняя или меняя знаки по свойству. Если можно, выбирайте такой порядок вычислений, при котором действия с числами выполнять проще.
Задача. Вычислить: 86 − (20 + 6). В скобках записана сумма, и её вычитают из 86. Вместо вычисления суммы в скобках можно вычесть каждое слагаемое отдельно.
Ответ: 60. Мы не изменили значение выражения, а лишь заменили одно вычитание суммы двумя последовательными вычитаниями. Проверка: 20 + 6 = 26, а 86 − 26 = 60.
Задача. Вычислить: (47 + 18) − 15. Здесь из суммы вычитают 15, поэтому можно выбрать слагаемое 18: из него вычитать удобнее, чем из 47. Оставшееся слагаемое 47 затем прибавим к полученной разности.
Ответ: 50. Такой выбор слагаемого позволил получить простой пример. Для проверки можно сначала сложить числа в исходных скобках: 47 + 18 = 65, затем вычислить 65 − 15 = 50.
Задача. Вычислить: 120 − (38 − 17). Из 120 вычитают разность, поэтому при раскрытии скобок знак перед 17 изменится на плюс. После преобразования нужно выполнять действия слева направо, так как сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет.
Ответ: 99. Проверим вычислением в исходной записи: 38 − 17 = 21, затем 120 − 21 = 99. Оба способа дают одинаковый результат.
Ошибка: заменять a − (b + c) на a − b + c. Так происходит, когда ученик меняет знак только у первого слагаемого или путает вычитание суммы с вычитанием разности. При вычитании суммы нужно вычесть оба слагаемых: a − b − c. Проверьте запись на простых числах и сравните результаты исходного и нового выражений.
Ошибка: в выражении (a + b) − c вычитать c из обоих слагаемых. Иногда кажется, что каждую часть суммы нужно уменьшить, но тогда вся сумма уменьшится на 2c, а не на c. Вычитание выполняется один раз: число отнимают от одного слагаемого, затем прибавляют другое. Проверка: подставьте небольшие числа и сравните обе записи.
Ошибка: в записи a − (b − c) оставлять перед c знак минус. Причина — невнимательное раскрытие скобок после знака вычитания. Нужно изменить знаки обоих слагаемых: получится a − b + c. Чтобы проверить себя, вычислите разность в скобках отдельно и сравните с результатом преобразованного выражения.
Ошибка: игнорировать скобки и выполнять действия в неверном порядке. В результате выражение может получить другое значение, хотя все числа останутся прежними. Сначала определите, что именно вычитается, затем примените правило раскрытия скобок и соблюдайте порядок действий. Проверить ответ можно двумя способами: посчитать исходное выражение и преобразованное.
Для работы со свойствами вычитания нужно уметь складывать и вычитать, различать уменьшаемое и вычитаемое, а также соблюдать порядок действий в выражениях со скобками. Эти правила делают удобнее устные и письменные вычисления с многозначными числами. Позже они пригодятся при преобразовании буквенных выражений, решении уравнений и выполнении действий с дробями.
Почему сумму в скобках можно вычитать по частям?
Вычесть сумму — значит найти, сколько останется после удаления всех её слагаемых. Поэтому a − (b + c) = a − b − c: сначала вычитаем b, а затем c. Результат не меняется, если выполняются те же действия.
Можно ли при вычитании числа из суммы выбрать любое слагаемое?
Число можно вычесть из любого слагаемого, если такое вычитание допустимо в используемой системе чисел. Например, удобно выбрать слагаемое, которое не меньше вычитаемого. После этого нужно прибавить остальные слагаемые.
Почему в выражении a − (b − c) перед c появляется знак плюс?
Скобки показывают, что из a вычитают всю разность b − c. При раскрытии скобок после минуса знаки внутри меняются: a − (b − c) = a − b + c. Вычитание отрицательной части равносильно прибавлению её величины.
Что делать, если выбранное слагаемое меньше вычитаемого?
Выберите другое слагаемое, из которого вычитание выполнить удобнее. Например, в (12 + 35) − 20 удобно вычесть 20 из 35, а затем прибавить 12. Если подходящего слагаемого нет, выполните вычитание другим способом.
Как проверить, что преобразование выражения выполнено правильно?
Посчитайте исходное и преобразованное выражения отдельно и сравните ответы. Также проверьте раскрытие скобок: после минуса знаки внутри меняются, а при вычитании суммы вычитаются все её слагаемые. Равные выражения должны давать одинаковый результат.
Свойства вычитания
