"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А.
Обыкновенные дроби показывают, сколько равных частей целого взято. Чтобы сравнить их, нужно выяснить, одинаковы ли знаменатели или числители, а также определить отношение дроби к единице. При равных знаменателях сравнивают числители, при равных числителях большей оказывается дробь с меньшим знаменателем. Рисунок или числовая прямая помогают проверить рассуждение, а знаки >, < и = записывают его результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь — запись части целого, в которой числитель показывает число взятых долей, а знаменатель — на сколько равных частей разделено целое. Например, в дроби 3/8 взяты три доли из восьми равных. Это понятие нужно, чтобы записывать части предметов и сравнивать их.
Числитель — число над чертой дроби; он показывает, сколько долей взято. В дроби 3/8 числитель равен 3. При одинаковых знаменателях сравнение числителей помогает понять, где долей взяли больше.
Знаменатель — число под чертой дроби; он показывает, на сколько равных долей разделено целое. В дроби 3/8 знаменатель равен 8, значит, целое разделено на восемь равных частей. Знаменатель помогает определить размер каждой доли.
Знаки сравнения — знаки «>», «<» и «=», с помощью которых записывают результат сравнения дробей. Например, 3/8 < 5/8 означает, что три восьмых меньше пяти восьмых. Знаки позволяют кратко и точно выразить, какая дробь больше или что дроби равны.
Если знаменатели одинаковы, целое разделено на равное число частей, поэтому все доли имеют одинаковый размер. Остаётся сравнить, сколько таких долей взято: больше долей — больше часть целого. Например, 5/8 больше 3/8, потому что пять одинаковых восьмых больше трёх таких долей.
Если числители одинаковы, в обеих дробях взято одно и то же число долей. Но знаменатели могут быть разными: чем на большее число частей разделено целое, тем мельче каждая доля. Поэтому при одинаковом числителе больше дробь с меньшим знаменателем: одна седьмая крупнее одной девятой, а значит, 4/7 > 4/9.
Чтобы сравнить дробь с единицей, представь единицу как целое, разделённое на столько частей, сколько указывает знаменатель. Если взяты все части, числитель равен знаменателю и дробь равна единице. Если взята только часть частей, числитель меньше знаменателя, поэтому дробь меньше единицы.
Рисунок помогает сравнить дроби, если целые разделены на одинаковые равные доли: можно увидеть, где закрашено больше. На числовой прямой числа увеличиваются слева направо, поэтому точка правее обозначает большую дробь. Эти способы полезны для проверки, особенно если легко перепутать числитель и знаменатель.
Сначала установи, какая дробь больше, а потом поставь знак: у «<» остриё направлено к меньшему числу, у «>» — тоже к меньшему, но число оказывается справа. Например, 3/8 < 5/8 читают «три восьмых меньше пяти восьмых». Если дроби обозначают одну и ту же часть целого, ставят знак равенства.
| Ситуация | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Одинаковые знаменатели | Больше дробь с большим числителем. | 3/8 < 5/8 |
| Одинаковые числители | Больше дробь с меньшим знаменателем. | 4/7 > 4/9 |
| Сравнение дроби с единицей | Если числитель меньше знаменателя, дробь меньше единицы. | 7/10 < 1 |
| Равные дроби | Если дроби обозначают одну часть целого, ставят знак равенства. | 1/2 = 2/4 |
| Запись результата знаками >, <, = | Остриё знака обращено к меньшему числу. | 3/8 < 5/8 |
Найди в таблице строку, которая подходит к данным дробям, и примени правило. В последней строке проверь направление знака: его остриё должно указывать на меньшее число. Примеры показывают, как записать результат.
Задача 1. Сравнить дроби 3/8 и 5/8. У дробей одинаковые знаменатели, значит, доли одинакового размера. Сравниваем, сколько таких долей взято: пять больше трёх.
Ответ: 3/8 < 5/8.
Задача 2. Сравнить дроби 4/7 и 4/9. Числители одинаковы: в каждой дроби взято по четыре доли. Но седьмые доли крупнее девятых, потому что целое разделили на меньшее число частей, поэтому дробь 4/7 больше.
Ответ: 4/7 > 4/9.
Задача 3. Сравнить 7/10 и 1, затем расположить по возрастанию 2/5, 4/5 и 1. В дроби 7/10 взяты семь из десяти частей, то есть не все части целого. Значит, дробь меньше единицы. Дроби 2/5 и 4/5 тоже меньше единицы, а между собой их можно сравнить по числителям.
Ответ: 7/10 < 1; по возрастанию: 2/5, 4/5, 1.
При одинаковых знаменателях иногда сравнивают сами знаменатели, хотя они уже равны. Так происходит, если забыть, что одинаковые знаменатели задают одинаковый размер долей. Проверь себя: найди числители и сравни именно их.
При одинаковых числителях можно ошибочно решить, что больше дробь с большим знаменателем. Но при делении целого на большее число частей каждая часть становится меньше. Представь один и тот же предмет, разделённый на 7 и 9 частей: седьмые части крупнее; значит, при одинаковом числе долей больше дробь с меньшим знаменателем.
Знаки «>» и «<» путают, если запоминать только их форму. Читай запись словами или проверь, куда смотрит остриё: оно указывает на меньшее число. Например, 3/8 < 5/8, а не 3/8 > 5/8.
Если числитель меньше знаменателя, дробь иногда принимают за число больше единицы. Это неверно: взята лишь часть всех долей, а для целого нужны все части. Сравни числитель со знаменателем: при числителе 7 и знаменателе 10 дробь меньше единицы.
До сравнения дробей нужно понимать смысл доли, знать числитель и знаменатель, уметь делить целое на равные части и читать знаки «>», «<» и «=». Эти знания помогают объяснить не только результат, но и почему одна дробь больше другой. Дальше сравнение пригодится, когда нужно упорядочить дроби, сопоставить результаты вычислений или решить задачу на части величины. Оно опирается на сравнение натуральных чисел и подготавливает к сложению и вычитанию дробей.
Почему при одинаковых знаменателях сравнивают только числители?
Одинаковые знаменатели означают, что целое разделили на одинаковое число равных частей. Размер долей одинаков, поэтому больше та дробь, в которой таких долей взято больше.
Почему дробь с меньшим знаменателем может быть больше?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Если частей меньше, каждая из них крупнее, поэтому при одинаковом числе взятых долей дробь с меньшим знаменателем больше.
Как понять по записи, меньше дробь единицы или больше?
Сравни числитель со знаменателем. Если они равны, дробь равна единице; если числитель меньше знаменателя, дробь меньше единицы.
Можно ли сравнивать дроби только по числителям?
Не всегда: это правило работает, когда знаменатели дробей одинаковы. Если знаменатели разные, размер долей тоже может различаться, поэтому сравнения одних числителей недостаточно.
Как проверить, правильно ли выбран знак сравнения?
Прочитай запись вслух и проверь, какое число больше. Можно также представить дроби на рисунке или отметить их на числовой прямой: меньшая дробь будет левее большей.
Урок 48. Сравниваем
