Нахождение неизвестного числа в равенствах вида х + 5 = 7, х • 5 = 15, х - 5 = 7, х : 5 = 15

Определения и обозначения

Неизвестное число — число, значение которого требуется найти; его обозначают буквой, например x. Буква показывает, что число пока не известно, но его можно определить по условию. Так запись x + 5 = 7 означает, что к некоторому числу прибавили 5 и получили 7.

Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число. Найденное значение должно превратить его в верное равенство: после подстановки вместо буквы левая и правая части должны быть равны. Поэтому недостаточно просто получить число вычислением — результат нужно проверить в исходной записи.

Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, число 2 является корнем уравнения x + 5 = 7, потому что 2 + 5 = 7. Понятие корня помогает отличить подходящий ответ от числа, которое не выполняет условие равенства.

Обратные действия — действия, которые отменяют друг друга: сложение и вычитание, умножение и деление. Например, если к числу прибавили 5, вычитание 5 возвращает исходное число. Связь обратных действий позволяет найти неизвестное, выполнив действие в обратном порядке.

Как это устроено

Найти неизвестное число — значит определить, какое значение буквы делает равенство верным. Для этого полезно представить, какие действия выполнили с неизвестным и каким результатом они завершились. Затем нужно отменить действие, связывающее неизвестное с известным числом. Ответ считают корнем только после того, как равенство можно проверить подстановкой.

В уравнении x + 5 = 7 неизвестное x — слагаемое, а 7 — сумма. Если убрать из суммы известное слагаемое 5, останется второе слагаемое, то есть x. Поэтому выполняют вычитание: x = 7 − 5 = 2. Вычитание подходит не случайно: оно обратное сложению и отменяет прибавление 5.

В уравнении x • 5 = 15 неизвестен один из множителей, а 15 — произведение. Чтобы узнать, сколько раз по 5 содержится в произведении, его делят на известный множитель: x = 15 : 5 = 3. Деление выбрано потому, что оно обратное умножению и отменяет умножение на 5. Умножать 15 на 5 не нужно: это не возвращает неизвестный множитель.

В записи x − 5 = 7 неизвестно уменьшаемое — число, из которого вычитают 5. Чтобы восстановить его, к полученной разности 7 прибавляют вычитаемое: x = 7 + 5 = 12. Здесь нельзя вычитать 5 из 7: 7 — уже результат вычитания, а не уменьшаемое.

В уравнении x : 5 = 15 неизвестно делимое — число, которое делят на 5. Чтобы восстановить делимое, частное 15 умножают на делитель 5: x = 15 • 5 = 75. Умножение отменяет деление на 5. Во всех четырёх случаях после нахождения числа его подставляют вместо x и убеждаются, что обе части уравнения равны.

Как найти неизвестное число в равенстве

Сначала определи, какое число неизвестно: слагаемое, множитель, уменьшаемое или делимое. Затем выбери соответствующее правило и выполни обратное действие. В конце подставь результат в исходное равенство, чтобы проверить решение.

Разбор задач

1. Найди x: x + 5 = 7.

1. Определи, что обозначает x: это неизвестное слагаемое, потому что оно складывается с 5.
2. Чтобы найти слагаемое, вычти из суммы известное слагаемое: x = 7 − 5.
3. Вычисли: x = 2. Проверь подстановкой: 2 + 5 = 7, равенство верно.

Ответ: x = 2. Мы использовали вычитание, потому что оно отменяет прибавление 5 и показывает, какая часть суммы осталась неизвестной.

2. Найди x: x • 5 = 15.

1. Здесь x — неизвестный множитель, а 15 — произведение.
2. Раздели произведение на известный множитель: x = 15 : 5.
3. Вычисли: x = 3. Проверка: 3 • 5 = 15, значит, равенство верно.

Ответ: x = 3. Деление выбрано потому, что оно обратное умножению: разделив произведение на известный множитель, получаем второй множитель.

3. Найди x: x − 5 = 7 и x : 5 = 15.

1. В первом равенстве x — уменьшаемое, а 7 — разность. Прибавь к разности вычитаемое: x = 7 + 5 = 12.
2. Проверь первое решение: 12 − 5 = 7. Равенство верно, поэтому 12 — корень первого уравнения.
3. Во втором равенстве x — делимое, а 15 — частное. Умножь частное на делитель: x = 15 • 5 = 75.
4. Проверь второе решение: 75 : 5 = 15. Равенство верно, поэтому 75 — корень второго уравнения.

Ответ: x = 12; x = 75 соответственно. В первом случае неизвестное число восстанавливают сложением, а во втором — умножением. Не перепутай эти правила с нахождением неизвестного вычитаемого или делителя: здесь неизвестны другие части действий.

Типичные ошибки

В уравнении x − 5 = 7 иногда вычитают 5 из 7 и получают неверный результат. Так происходит, когда неизвестное уменьшаемое путают с неизвестным вычитаемым: число x — это то, из чего вычитают, а не то, что вычитают. Чтобы проверить себя, восстанови уменьшаемое: к разности 7 прибавь 5, затем проверь, что полученное число минус 5 равно 7.

В уравнении x : 5 = 15 иногда делят 15 на 5. Здесь забывают, что неизвестно делимое, а не делитель: делимое получают умножением частного на делитель. Подставь результат в исходное равенство и проверь деление — правильное число должно дать частное 15.

Ещё одна ошибка — выбрать для неизвестного слагаемого или множителя действие, которое не отменяет известное число. Например, при x + 5 = 7 умножение на 5 не поможет найти слагаемое, а при x • 5 = 15 сложение с 5 не восстановит множитель. Спроси себя, какое действие было выполнено с x, и выбери обратное ему.

Наконец, можно получить неверный ответ из-за ошибки в вычислении и не заметить её, если не делать проверку. Подставь найденное число вместо x и вычисли левую часть. Если она не равна правой части, значит, нужно проверить вычисления или выбор правила.

Связь с другими темами

До изучения этой темы нужно понимать смысл сложения, вычитания, умножения и деления, а также знать, какие действия являются обратными. Это помогает не заучивать правила отдельно, а объяснять, почему для каждого вида равенства выбирается именно такое действие. Если смысл действий пока неясен, полезно проверять их на простых числовых примерах.

Умение находить неизвестное число пригодится при решении более сложных уравнений и текстовых задач. В задаче сначала составляют равенство по условию, а затем определяют неизвестное с помощью подходящего правила. Освоенные способы становятся опорой для таких решений.

Что запомнить

• Корень уравнения превращает равенство в верное.
• Неизвестное слагаемое находят вычитанием.
• Неизвестный множитель находят делением.
• Неизвестное уменьшаемое находят сложением разности и вычитаемого.
• Неизвестное делимое находят умножением частного на делитель.
• Найденный корень полезно проверить подстановкой.