Построение отрезка, равного данному

Определения и обозначения

Равные отрезки — это отрезки, длины которых одинаковы. Например, отрезки AB и CD равны, если расстояние от A до B такое же, как от C до D. Они могут находиться в разных местах плоскости и быть направлены по-разному: сравнивают не их положение, а длину.

Циркуль — инструмент с двумя ножками, которым переносят расстояние между двумя точками, не изменяя раствора. Раствор циркуля — это расстояние между его ножками; его можно закрепить, приложив ножки к концам отрезка. Циркуль нужен, чтобы перенести длину точно, даже если мы не знаем её числового значения.

Построение отрезка, равного данному — это создание с помощью линейки и циркуля отрезка той же длины, что и заданный. Сначала выбирают место и направление нового отрезка, а затем переносят его длину циркулем. Такое построение пригодится, когда нужно получить несколько отрезков заданной длины или использовать их в построении фигуры.

Как это устроено

Сначала из выбранной точки проводят луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. Луч задаёт направление и область, в которой будет лежать новый отрезок. Без него не было бы понятно, где отмечать конец отрезка, а саму длину можно было бы перенести в разные стороны.

Затем ножки циркуля ставят точно на концы данного отрезка и фиксируют получившийся раствор. Так циркуль захватывает именно расстояние между этими точками, а не приблизительную длину на глаз. Если ножки сместились с концов, перенос будет неверным, даже если дальнейшие действия выполнены аккуратно.

Одну ножку циркуля помещают в начало луча, а другой делают отметку на луче. Эта отметка задаёт конец нового отрезка. Поскольку луч продолжается от своего начала, расстояние между началом и отметкой как раз и становится длиной построенного отрезка.

Раствор циркуля при переносе сохраняют, поэтому расстояние между ножками остаётся тем же, что и между концами исходного отрезка. Значит, полученный отрезок имеет ту же длину. Если изменить раствор, ножки окажутся на другом расстоянии друг от друга, и оснований считать длины равными уже не будет.

Проверить построение можно, снова приложив циркуль к исходному отрезку, а затем, не меняя раствор, — к построенному. Если ножки совпадают с обоими концами нового отрезка, длина перенесена верно. Линейкой с делениями тоже можно измерить отрезок, но при геометрическом построении не считывают значение шкалы: длину переносят циркулем, сохраняя её независимо от единиц измерения.

Инструменты и их роль при построении равного отрезка

Таблица показывает последовательность действий: сначала задают направление, затем переносят длину и отмечают конец отрезка. Удобно проверять себя по последнему столбцу: после каждого этапа должно появиться указанное в нём промежуточное или итоговое состояние. Линейка здесь нужна для проведения луча, а циркуль — для переноса и проверки длины.

Разбор задач

Задача 1

Дан отрезок AB. Постройте луч с началом в точке C и на нём отрезок CD, равный AB. Нужно перенести длину AB, а не копировать расположение самого отрезка. Поэтому сначала задаём направление из C, затем используем циркуль.

1. Проведём из точки C луч в выбранном направлении.
2. Поставим ножки циркуля в точки A и B и закрепим раствор. Не сдвигая ножки относительно установленного расстояния, перенесём одну ножку в C.
3. Сделаем второй ножкой отметку на луче и обозначим её D. Получится отрезок CD той же длины, что и AB.

Ответ: отрезок CD на луче из C, причём CD = AB. Равенство следует из того, что раствор циркуля при переносе не менялся. Направление нового отрезка может отличаться от направления AB.

Задача 2

Дан отрезок MN. Постройте от его конца M на луче, не содержащем N, отрезок, равный MN. Луч начинается в M и идёт в сторону, противоположную точке N, поэтому строить нужно именно на нём. Перенос длины выполняется так же, как в первой задаче.

1. Проведём или возьмём заданный луч с началом M, который не содержит точку N.
2. Установим ножки циркуля точно на M и N. Сохраняя раствор, поставим одну ножку в M.
3. Отметим второй ножкой точку на заданном луче и назовём её P. Отрезок MP будет иметь длину MN.

Ответ: отрезок MP на указанном луче, MP = MN. То, что луч не содержит N, влияет только на расположение построения, но не на перенос длины. Точку P отмечают на луче, а не на его противоположном продолжении.

Задача 3

Постройте на данном луче отрезок, равный сумме двух данных отрезков AB и CD. Сумма длин означает, что нужно отложить одну длину, а затем добавить к ней вторую. Удобно обозначать промежуточную точку, чтобы не потерять место, от которого переносится второй отрезок.

1. Обозначим начало заданного луча точкой O. Циркулем перенесём на луч длину AB и отметим конец первого отрезка точкой E.
2. Теперь поставим одну ножку циркуля в C, другую — в D, чтобы взять длину CD. Не изменяя раствор, поставим одну ножку в E.
3. Отметим на том же луче точку F. Тогда OF состоит из двух последовательно отложенных отрезков: OE и EF.

Ответ: отрезок OF, для которого OF = AB + CD. Первый перенос задаёт длину AB, второй добавляет длину CD от точки E. Так сумма получается без измерения отрезков по линейке с делениями.

Типичные ошибки

При переносе иногда случайно раздвигают или сдвигают ножки циркуля. Тогда раствор уже не соответствует исходному отрезку, и отметка задаёт другую длину. Чтобы проверить себя, сразу после переноса сравните раствор с исходным отрезком: циркуль должен по-прежнему точно охватывать его концы.

Другая ошибка — поставить ножки не точно на концы данного отрезка. Так переносят расстояние между выбранными точками внутри отрезка или за его пределами, а не его полную длину. Проверяйте положение обеих ножек перед переносом и убедитесь, что они стоят именно на концах.

Можно отметить конец нового отрезка не на заданном луче, а на его продолжении в противоположную сторону. Такое случается, когда не проверяют, где находится начало луча и куда он направлен. Проследите за лучом от его начала: отметка должна лежать на той его части, куда он продолжается.

Некоторые считают, что равные отрезки обязаны совпадать по направлению или располагаться рядом. Это неверно: сравнивается только длина, а положение на плоскости может быть любым. Для самопроверки мысленно представьте, что один отрезок можно перенести к другому, не растягивая и не укорачивая его.

Связь с другими темами

Для построения нужно знать, что такое точка, прямая, луч и отрезок. Также важно уметь провести луч линейкой и аккуратно пользоваться циркулем, устанавливая ножки на заданные точки. Эти базовые понятия помогают понять, где начинается отрезок и в каком направлении его строить.

Перенос длины используется при построении суммы и разности отрезков: нужные длины последовательно откладывают на луче. Он также помогает строить треугольники и другие геометрические фигуры, когда известные длины нужно перенести в новые места. Поэтому умение сохранять раствор циркуля становится основой для более сложных построений.

Что запомнить

• Равные отрезки имеют одинаковую длину.
• Расположение отрезка на плоскости не влияет на его длину.
• Длину данного отрезка переносят циркулем.
• При переносе длины раствор циркуля не меняют.
• Конец построенного отрезка отмечают на заданном луче.