Вычитание многозначных чисел

Определения и обозначения

Многозначное число — число, запись которого содержит несколько цифр. Значение каждой цифры определяется не только ею самой, но и её местом: например, в числе 7642 цифра 6 означает шесть сотен. Это помогает понимать, какие количества мы складываем или вычитаем.

Разряд — место цифры в записи числа, соответствующее единицам, десяткам, сотням, тысячам и следующим разрядным единицам. Соседний слева разряд в десять раз больше правого: десять десятков составляют одну сотню. Знание разрядов позволяет правильно записывать числа столбиком и выполнять действия с одинаковыми единицами.

Разрядное слагаемое — слагаемое, полученное умножением цифры на единицу её разряда. Например, число 7642 можно представить так: 7000 + 600 + 40 + 2. Такая запись показывает, из каких частей состоит число, и объясняет, почему цифры разных столбцов нельзя вычитать друг из друга.

Разность — результат вычитания. В записи a − b число a называют уменьшаемым, а число b — вычитаемым; из уменьшаемого вычитают вычитаемое и получают разность. Понимание этих названий помогает не перепутать числа при вычислении и проверке.

Как это устроено

При письменном вычитании числа записывают одно под другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов оказались в одном столбце. Причина в том, что вычитать можно только количества одних и тех же единиц: десятки из десятков, сотни из сотен. Поэтому сначала выравнивают последние цифры — единицы, а затем проверяют остальные столбцы. Такая запись помогает не потерять разряд при вычислении.

Если переход через разряд не нужен, в каждом столбце цифра уменьшаемого не меньше цифры вычитаемого. Начинают с единиц, вычитают цифры этого столбца и записывают результат под ним, затем переходят к десяткам и далее. Такой порядок удобен, потому что возможная нехватка единиц обнаруживается сразу, прежде чем будет записан результат следующего разряда. В конце прочитайте получившееся число слева направо.

Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, вычитание непосредственно выполнить нельзя. Тогда одну единицу соседнего старшего разряда заменяют десятью единицами текущего: например, один десяток — это десять единиц. Цифра текущего разряда увеличивается на 10, а цифра старшего уменьшается на 1, поэтому значение всего уменьшаемого сохраняется. После размена можно вычесть цифры в текущем столбце.

Иногда нужный старший разряд содержит ноль, поэтому занять единицу непосредственно неоткуда. В таком случае единицу берут из ближайшего ненулевого разряда слева и передают через нулевые разряды. Разряд, из которого взяли единицу, уменьшается на 1; каждый пройденный ноль превращается в 9, а в нужном разряде появляется 10 единиц. Это последовательный размен, который сохраняет значение числа.

Вычитание можно проверить обратным действием — сложением. К полученной разности прибавляют вычитаемое: если сумма совпала с уменьшаемым, вычисление верно. Проверка опирается на связь между действиями: если из числа вычли часть, то прибавление этой части восстанавливает исходное число. Если равенства нет, стоит повторно проверить разряды и размены.

Письменное вычитание многозначных чисел

Сравнивайте строки таблицы с тем случаем, который встретился в примере: сначала определите, нужен ли размен, затем выполните действия по разрядам. В последнем столбце приведены места, где особенно легко ошибиться. После вычисления полезно проверить ответ сложением.

Разбор задач

Вычислите 7642 − 3211. Сначала расположим числа так, чтобы одинаковые разряды стояли друг под другом. В каждом столбце цифра сверху не меньше цифры снизу, поэтому занимать единицы не потребуется. Вычитаем справа налево.

1. Единицы: 2 − 1 = 1.
2. Десятки: 4 − 1 = 3.
3. Сотни: 6 − 2 = 4.
4. Тысячи: 7 − 3 = 4. Читаем результат по разрядам слева направо: 4431.

Ответ: 4431.

Вычислите 5036 − 1784. Единицы и десятки требуют размена, причём в разряде десятков уменьшаемого стоит ноль. Сначала нужно взять единицу у сотен, чтобы разменять её на десятки; затем из полученных десятков можно выделить единицу для единиц. Проверим изменения разрядов, прежде чем продолжить вычисления.

1. Единицы: 6 меньше 4? Нет, поэтому 6 − 4 = 2.
2. Десятки: 3 меньше 8. Берём сотню: 0 сотен для этого недостаточно, поэтому занимаем 1 тысячу. Получаем 10 сотен, передаём одну сотню десяткам: десятков становится 10, сотен остаётся 9, тысяч — 4. Теперь десятки: 10 − 8 = 2.
3. Сотни: 9 − 7 = 2.
4. Тысячи: 4 − 1 = 3. Результат — 3252.

Ответ: 3252. При размене тысяча превратилась в десять сотен; одна сотня перешла в десятки, поэтому в сотнях осталось 9.

Вычислите 7002 − 3586 и проверьте результат. Единицам не хватает единиц для вычитания, а слева от них стоят нули. Поэтому единицу нужно взять у тысяч, передав её через сотни и десятки. После размена вычитаем по столбцам, не забывая, что промежуточные нули изменились.

1. Тысячи: занимаем 1 тысячу — остаётся 6 тысяч. Одна тысяча превращается в 10 сотен; одну сотню передаём дальше, поэтому сотен остаётся 9. Из полученных десятков одну десятку передаём единицам: десятков остаётся 9, единиц становится 12.
2. Единицы: 12 − 6 = 6.
3. Десятки: 9 − 8 = 1; сотни: 9 − 5 = 4; тысячи: 6 − 3 = 3. Получаем 3416.
4. Проверяем: 3416 + 3586 = 7002. Сумма совпала с уменьшаемым.

Ответ: 3416.

Типичные ошибки

Если записать числа без выравнивания разрядов, под единицами могут оказаться десятки или сотни. Так происходит, когда ориентируются на начало записи, а не на разряды. Проверьте, что последние цифры стоят одна под другой, а каждый столбец содержит одинаковые единицы; иначе результат нельзя считать верным.

После размена иногда забывают уменьшить на 1 цифру старшего разряда. Тогда к текущему столбцу добавляют десять единиц, но одновременно не убирают единицу, которую передали, и значение уменьшаемого увеличивается. Перед переходом к следующему столбцу проверьте, какой разряд был источником размена. Его цифра должна стать на единицу меньше.

При переходе через несколько разрядов могут не все нули превратиться в девятки. Ошибка возникает, если ученик меняет только нужный столбец и не отслеживает путь переданной единицы. Просмотрите столбцы между разрядом, откуда взяли единицу, и нужным разрядом: каждый промежуточный ноль должен стать 9. Дополнительно проверьте результат сложением.

Для проверки нельзя складывать разность с уменьшаемым: это не восстанавливает исходное число. Такая ошибка появляется из-за путаницы в названиях компонентов вычитания. Сложите разность именно с вычитаемым и сравните сумму с уменьшаемым. Совпадение подтверждает правильность вычисления.

Связь с другими темами

Для письменного вычитания нужно уметь разбирать число на разрядные слагаемые и помнить, что десять единиц одного разряда составляют одну единицу соседнего старшего разряда. Это правило объясняет размен при переходе через разряд и помогает сохранять значение числа. Вычитание пригодится в задачах на разность величин, при нахождении неизвестного слагаемого и в действиях с величинами. В таких задачах важно следить за одинаковыми единицами измерения.

Что запомнить

• Записывай числа так, чтобы одинаковые разряды стояли друг под другом.
• Начинай вычитание с разряда единиц.
• Если цифры уменьшаемого недостаточно, размени одну единицу старшего разряда.
• При размене цифра старшего разряда уменьшается на единицу.
• Через нулевые разряды единицу передают от ближайшего ненулевого старшего разряда.
• Проверяй вычитание сложением разности и вычитаемого.