Многоугольник и его элементы

Определения и обозначения

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. В такой ломаной соседние звенья имеют общую вершину, а несоседние не пересекаются. Иными словами, линия должна вернуться к начальной точке и не пересекать сама себя, иначе она не ограничивает многоугольник по принятому определению. Это определение помогает отличить многоугольник от просто набора отрезков.

Вершины многоугольника — точки, в которых соединяются соседние звенья. Их обычно обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C и так далее. Буквы нужны, чтобы точно называть точки и описывать фигуру, не рисуя её заново. Например, вершина A — это точка, где встречаются два звена с концами в A.

Стороны многоугольника — звенья замкнутой ломаной. Если вершины перечислены по порядку A, B, C, D, то среди сторон будут AB, BC, CD и отрезок DA, который замыкает фигуру. Сторон столько же, сколько вершин, потому что каждое звено соединяет одну вершину со следующей. Это соответствие помогает проверять, правильно ли названы элементы.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Несоседние вершины не соединены стороной, поэтому диагональ проходит внутри фигуры или по её внутренней части. Например, в четырёхугольнике ABCD отрезок AC — диагональ, а AB — сторона. Понятие диагонали позволяет рассматривать связи между вершинами, которые не соседствуют.

Как это устроено

Чтобы получить многоугольник, соединяют отрезки концами: конец одного звена становится началом следующего. Затем последнее звено соединяют с первым, и ломаная замыкается. Такое замыкание необходимо, потому что открытая ломаная не ограничивает плоскую область со всех сторон. Кроме того, несоседние звенья не должны пересекаться, иначе граница будет проходить через себя.

У каждой вершины есть входящее и выходящее звено, поэтому при обходе ломаной вершины и стороны сменяют друг друга. После последней вершины обход возвращается к первой, и для каждой вершины находится соответствующая сторона. Поэтому числа вершин и сторон совпадают. Название фигуры определяют по числу вершин: у треугольника их три, у четырёхугольника — четыре, у пятиугольника — пять.

Обозначая многоугольник, перечисляют его вершины в том порядке, в каком они встречаются при обходе границы. Например, для четырёхугольника подходят обозначения ABCD и ADCB: во втором случае обход ведут в обратном направлении. Нельзя просто переставить буквы как угодно, поскольку порядок показывает, какие вершины соединены сторонами. Запись ABCD также подсказывает, что стороны идут AB, BC, CD и DA.

Соседними называют вершины, соединённые стороной; остальные вершины этого многоугольника — несоседние. Например, в пятиугольнике ABCDE вершины B и E соседние с A, потому что стороны AB и EA выходят из A. Вершины C и D с A не соседствуют. Это различие нужно, чтобы не путать отрезки границы со связями между вершинами внутри неё.

Диагональ проводят только между несоседними вершинами. Если соединить соседние вершины, получится уже существующая сторона, а не новый элемент фигуры. Так, в четырёхугольнике ABCD отрезки AC и BD являются диагоналями, потому что их концы не соединены сторонами. Отрезки AB, BC, CD и DA диагоналями не будут: каждый из них составляет границу многоугольника.

Элементы многоугольника

Сначала найдите вершины и стороны по порядку обхода, а затем проверьте, соединена ли выбранная пара вершин стороной. Если соединена, вершины соседние; если нет, отрезок между ними может быть диагональю. Для диагонали всегда проверяйте оба конца: они должны быть вершинами одного многоугольника.

Разбор задач

Замкнутая ломаная ABCD

Дана замкнутая ломаная ABCD. Назовите многоугольник, его вершины и стороны. Буквы уже указаны по порядку обхода, но важно не забыть, что замкнутая ломаная возвращается к начальной точке. Поэтому после D границу продолжает отрезок DA.

1. Записываем вершины по порядку: A, B, C, D. Это четыре различные вершины.
2. У каждой пары соседних по обходу вершин есть сторона: AB, BC и CD. Замыкающий отрезок DA тоже является стороной.
3. У ломаной четыре вершины и четыре стороны, значит, она ограничивает четырёхугольник ABCD. Проверяем, что его звенья замкнуты и несоседние не пересекаются.

Ответ: четырёхугольник ABCD; вершины A, B, C, D; стороны AB, BC, CD, DA. Если обходить границу с другой стороны, тот же многоугольник можно назвать ADCB. Запись сторон в таком порядке также покажет все звенья замкнутой ломаной.

Соседние и несоседние вершины в пятиугольнике

В пятиугольнике ABCDE укажите все вершины, соседние с C, и все вершины, не соседние с C. Чтобы ответить, нужно смотреть не на расстояние между буквами в записи, а на стороны, выходящие из C. У каждой вершины пятиугольника ровно две соседние вершины по границе.

1. Находим стороны, содержащие C: это BC и CD. Значит, соседние с C вершины — B и D.
2. Из всех вершин пятиугольника исключаем C, поскольку вершина не считается соседней самой себе. Также исключаем найденные B и D.
3. Остаются A и E. Они не соединены с C стороной, поэтому являются несоседними с C.

Ответ: соседние с C вершины — B и D; несоседние — A и E. Такой способ подходит для любого многоугольника: сначала находят две стороны, выходящие из выбранной вершины, затем перечисляют остальные вершины. Саму выбранную вершину в список соседних или несоседних не включают.

Диагонали из вершины шестиугольника

Сколько диагоналей можно провести из одной вершины шестиугольника? Перечислите их из вершины A. Обозначим шестиугольник ABCDEF, где вершины записаны по порядку. Диагональ должна соединять A с вершиной, которая не является ни самой A, ни её соседкой.

1. Всего в шестиугольнике шесть вершин. Из рассмотрения исключаем A: отрезок от вершины к самой себе не проводится.
2. Соседями A являются B и F, поэтому AB и AF — стороны, а не диагонали.
3. Остаются вершины C, D и E. Соединяем с ними A и получаем диагонали AC, AD и AE — всего три.

Ответ: из одной вершины шестиугольника можно провести три диагонали: из A это AC, AD и AE. Проверка проста: из шести вершин вычитаем выбранную вершину и двух её соседей, то есть 6 − 3 = 3. Все оставшиеся вершины несоседние с A, поэтому соединяющие их отрезки являются диагоналями.

Типичные ошибки

Незамкнутую ломаную иногда называют многоугольником, потому что её звенья напоминают границу фигуры. Но если последнее звено не соединено с первой вершиной, граница остаётся открытой. Проверьте себя: проследите ломаную от начала до конца и убедитесь, что конец возвращается в начальную точку.

Отрезок между соседними вершинами иногда принимают за диагональ, хотя это сторона. Путаница возникает, если смотреть только на то, что отрезок соединяет две вершины. Перед ответом проверьте, соединены ли эти вершины одной стороной: если да, отрезок является стороной, если нет — диагональю.

При перечислении сторон могут забыть соединить последнюю вершину с первой. Так происходит, когда запись читают как список отрезков только между соседними буквами и не учитывают замыкание. Для проверки добавьте сторону от последней названной вершины к первой: у ABCD это DA.

Порядок букв в обозначении нельзя менять произвольно, хотя один и тот же многоугольник можно обходить в обе стороны. Ошибка возникает, если переставить буквы так, что соседние в записи вершины не соединены стороной. Проверяйте каждую пару соседних букв и обязательно учитывайте последнюю с первой: в ABCD это пары AB, BC, CD, DA.

Связь с другими темами

До знакомства с многоугольниками нужно понимать, что такое отрезок, ломаная и вершина, а также отличать замкнутую ломаную от незамкнутой. Эти знания помогают распознать границу фигуры и правильно назвать её части. Дальше понятия сторон и вершин пригодятся при изучении периметра: его находят по сторонам многоугольника. Вершины и стороны также нужны для разбора углов, а диагонали помогают исследовать устройство фигуры и могут использоваться при изучении её площади.

Что запомнить

• Многоугольник образован замкнутой ломаной.
• Число вершин многоугольника равно числу его сторон.
• Название многоугольника определяется числом его вершин.
• Соседние вершины соединены стороной.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• В обозначении многоугольника вершины перечисляют по порядку обхода.