Площадь фигуры. Единицы площади

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Она помогает сравнить фигуры: если они имеют одинаковую форму, но одна занимает больше места, её площадь больше. Сравнивать площади удобно даже тогда, когда фигуры выглядят по-разному. Площадь — не длина границы фигуры, а размер её поверхности.

Единица площади — это площадь квадрата, который выбрали за меру. Результат измерения показывает, сколько таких единиц содержится в фигуре. Например, ответ 6 означает, что фигуру можно покрыть шестью единичными квадратами без промежутков и наложений. Выбранную единицу обязательно указывают в ответе.

Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см. Его обозначают см², читая знак ² как «квадратный». Эта единица подходит для измерения небольших поверхностей, например страницы тетради. Обозначение напоминает, что речь идёт о квадрате со стороной в сантиметр, а не о длине.

Квадратный метр — площадь квадрата со стороной 1 м, обозначение — м². В квадратных метрах удобно измерять пол комнаты, участок или другую большую поверхность. При записи площади квадратный знак обязателен. Метры без него обозначают длину, а не площадь.

Как это устроено

Для измерения площади выбирают квадрат, потому что одинаковые квадраты легко повторять и укладывать рядом. У квадрата равны все стороны, поэтому его форма не меняется при повороте, а края соседних квадратов совпадают. Так поверхность можно покрыть ровным слоем без промежутков и наложений. Если бы в качестве меры выбирали фигуру со сложной формой, её было бы труднее плотно укладывать и считать.

На клетчатой бумаге сначала выясняют, чему равна площадь одной клетки, то есть какого она размера. Затем считают целые клетки внутри контура фигуры. Части клеток тоже нужно учитывать: две половины, например, вместе образуют одну целую клетку. Такой подсчёт даёт точный результат, если все неполные части можно объединить; иначе можно оценить площадь, объединив части приблизительно.

Составная фигура состоит из нескольких частей, площадь каждой из которых можно найти отдельно. Если части не перекрываются и вместе образуют всю фигуру, то площадь целого равна сумме площадей этих частей. Это удобно, когда сложную фигуру нельзя легко измерить сразу. Если между частями есть пустые промежутки, их площади нельзя включать в площадь фигуры.

Квадратные единицы связаны с соответствующими единицами длины, но при переходе площадь изменяется сильнее. Например, сторона квадрата с длиной 1 дм в 10 раз больше стороны квадрата 1 см. Вдоль каждой стороны большого квадрата помещается по 10 маленьких, поэтому всего в нём 10 · 10 = 100 квадратов площадью 1 см². Отсюда 1 дм² = 100 см², а при переходе между соседними квадратными единицами множитель равен 100.

Единицу измерения выбирают так, чтобы числовое значение было удобным и понятным. Для площади ногтя подходят мм² или см², для пола комнаты — м², а для целой страны — км². В слишком мелкой единице у большого объекта получится очень большое число, которое неудобно записывать. Поэтому более крупным поверхностям обычно соответствуют более крупные единицы площади.

Единицы площади и их соотношения

Чтобы перевести число в соседнюю меньшую квадратную единицу, умножь его на 100; чтобы в соседнюю большую — раздели на 100. Между м² и км² в таблице не соседние линейные единицы: 1 км равен 1000 м, поэтому 1 км² равен 1000 · 1000, то есть 1 000 000 м². Перед вычислением проверь, в какую сторону выполняется перевод.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге изображена фигура, полностью составленная из клеток со стороной 1 см. Найдите её площадь. Каждая клетка — квадрат со стороной 1 см, значит, площадь одной клетки равна 1 см². Осталось посчитать, сколько таких квадратов занимает фигура.

1. Считаем все целые клетки внутри фигуры, не пропуская клетки у её границ. Пусть получилось 12 целых клеток. Частичных клеток по условию нет.
2. Площадь одной клетки равна 1 см², поэтому площадь фигуры равна 12 · 1 см² = 12 см². Число клеток умножаем на площадь одной клетки.

Ответ: 12 см². Если на рисунке другое количество клеток, в вычислении нужно использовать фактическое число, полученное подсчётом.

Задача 2. Прямоугольный участок разбит на две части площадью 18 м² и 27 м². Найдите площадь всего участка. Части вместе составляют участок и не перекрываются, поэтому можно сложить их площади. Сначала проверяем, что ни одна часть не посчитана дважды.

1. Записываем площади обеих частей: 18 м² и 27 м². Единицы одинаковые, поэтому складывать числа можно сразу.
2. Находим сумму: 18 + 27 = 45. Полученное число выражает площадь всего участка в квадратных метрах.

Ответ: 45 м². Если бы части перекрывались, одной суммы было бы недостаточно: площадь общей области пришлось бы вычесть один раз.

Задача 3. Площадь пола равна 24 м². Выразите её в квадратных сантиметрах. Из метров в сантиметры длина меняется в 100 раз, но площадь нельзя переводить множителем 100: квадратные единицы учитывают изменение по двум направлениям. Поэтому сначала находим, сколько см² составляет один м².

1. В одном метре 100 сантиметров, значит, квадрат со стороной 1 м содержит 100 · 100 = 10 000 квадратов со стороной 1 см. Следовательно, 1 м² = 10 000 см².
2. Переводим 24 м²: 24 · 10 000 = 240 000. При переходе к меньшей единице площадь выражается большим числом таких единиц.

Ответ: 240 000 см². Проверить результат можно обратным действием: разделить его на 10 000 и получить 24 м².

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что 1 м² = 100 см². Так происходит, если перевести метры в сантиметры только по одной стороне и забыть, что квадрат имеет две стороны, задающие площадь. В квадрате со стороной 1 м размещаются 100 рядов по 100 квадратов площадью 1 см². Для проверки вычисли 100 · 100: получишь 10 000 см² в одном м².

Ошибка: записывать площадь в линейных единицах, например в сантиметрах. Это путают с измерением длины, потому что и там, и там встречаются сантиметры. Но сантиметр показывает длину, а квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см. Проверь ответ: если измерялась поверхность, в обозначении единицы должен быть квадратный знак.

Ошибка: считать только целые клетки и не учитывать части клеток. Их пропускают, потому что отдельная часть не похожа на целую единицу площади. Однако две половины могут составить одну целую клетку, а несколько других частей — несколько таких клеток. Для проверки обведи неполные части и попробуй составить из них целые квадраты.

Ошибка: складывать площади перекрывающихся частей. Общую область в таком случае включают в каждую площадь, поэтому после сложения она учитывается дважды. Складывать без поправок можно только площади частей, которые не накладываются друг на друга. Проверь, образуют ли части фигуру без пересечений; если есть общая область, её площадь нужно вычесть один раз.

Связь с другими темами

Для измерения площади полезно уметь измерять длину линейкой и различать единицы длины: миллиметры, сантиметры, дециметры и метры. Длина стороны квадрата помогает определить, какая именно квадратная единица используется. Дальше понятие площади понадобится при изучении формул площади прямоугольника и других фигур. Оно также встречается в геометрических задачах и практических расчётах размеров поверхностей, например пола или участка.

Что запомнить

• Площадь измеряют квадратными единицами.
• Площадь единичного квадрата задаёт выбранную единицу площади.
• Площадь фигуры можно находить подсчётом единичных квадратов.
• Площадь неперекрывающихся частей складывается.
• При переходе между соседними квадратными единицами используют множитель 100.
• Чем крупнее объект, тем крупнее единицу площади обычно выбирают.