28. Смешанные числа

Определения и обозначения

Смешанное число — это число, записанное как сумма натурального числа и правильной дроби. Например, 2 1/4 означает 2 + 1/4, а не умножение двух частей. Целая и дробная части вместе обозначают одну величину: два целых и ещё четверть. Такая запись удобна, когда величина больше единицы.

Целая часть смешанного числа — натуральное число, записанное перед дробью. В записи 5 3/8 целая часть равна 5 и показывает, сколько полных единиц содержится в числе. Благодаря ей сразу видно, сколько единиц уже собрано целиком. Дробная часть при этом дополняет целые единицы.

Дробная часть смешанного числа — правильная дробь, записанная после целой части. Например, в числе 5 3/8 дробная часть — 3/8, то есть три из восьми равных долей следующей единицы. Она показывает, сколько ещё нужно прибавить к целой части. Поэтому дробная часть меньше единицы.

Как это устроено

Если величина больше одной единицы, её можно описать, отделив полные единицы от остатка. Например, длина может составлять три целых метра и ещё две пятых метра. Запись 3 2/5 короче, чем перечисление целой и дробной частей словами. Она также помогает сразу заметить, что величина больше трёх, но меньше четырёх единиц.

Запись a + b/c можно заменить неправильной дробью, если целые единицы разделить на те же доли, что и дробную часть. В каждой целой единице будет c долей, значит, в a целых единицах — a·c долей. К ним нужно прибавить уже имеющиеся b долей. Всего получится a·c + b долей, и каждая по-прежнему равна 1/c, поэтому знаменатель остаётся c.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, умножь целую часть на знаменатель, прибавь числитель и запиши результат над прежним знаменателем. Например, 2 3/7 = (2·7 + 3)/7 = 17/7. Умножение считает доли, заключённые в целых единицах, а сложение учитывает доли сверх них. Знаменатель не меняется, потому что размер одной доли остаётся прежним.

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, раздели числитель на знаменатель с остатком. Например, в дроби 17/7 можно сгруппировать по семь семнадцать долей: получится две полные группы и три доли сверх них. Поэтому 17/7 = 2 3/7: частное 2 становится целой частью, остаток 3 — числителем дробной части. Знаменатель 7 сохраняется, потому что речь всё ещё идёт о седьмых долях.

Остаток при делении должен быть меньше знаменателя: если долей в остатке не меньше, чем нужно для целой единицы, можно выделить ещё одну целую часть. Например, остаток 8 при делении на 7 означает ещё одну полную группу и одну седьмую, то есть деление выполнено не до конца. Если остатка нет, все доли объединяются в целые единицы. Тогда дробь равна натуральному числу, например 18/6 = 3.

Переход между смешанным числом и неправильной дробью

Используй таблицу как подсказку: сначала найди строку, соответствующую данному числу, затем выполни указанное действие. При переводе смешанного числа целые единицы превращаются в доли, а при обратном переходе доли группируются в целые. После деления проверь, что остаток меньше знаменателя.

Разбор задач

Задача 1. Запишите число, состоящее из 4 целых и 3/7, в виде смешанного числа. Сначала определим, сколько полных единиц дано: их четыре. Кроме них есть ещё три доли, каждая из семи равных частей единицы. Значит, целое число записываем перед дробью, а дробь оставляем правильной.

1. Запишем целую часть: 4.
2. После неё поставим дробную часть 3/7.
3. Объединим части в одну запись: 4 3/7.

Ответ: 4 3/7. Смысл записи можно проверить равенством 4 3/7 = 4 + 3/7: здесь видны обе части исходного числа.

Задача 2. Представьте смешанное число 3 2/5 в виде неправильной дроби. Нужно выразить все три целые единицы в пятых долях, потому что дробная часть состоит из пятых. В каждой целой единице пять таких долей, поэтому в трёх целых будет 3·5 долей. К ним прибавим две доли, уже записанные в дробной части.

1. Умножим целую часть на знаменатель: 3·5 = 15.
2. Прибавим числитель дробной части: 15 + 2 = 17.
3. Запишем 17 числителем, а знаменатель 5 оставим прежним.

Ответ: 3 2/5 = 17/5. Проверка обратным переводом: 17 : 5 = 3 (ост. 2), значит, из 17/5 получается 3 2/5.

Задача 3. Выделите целую часть из дроби 29/6 и проверьте результат. Сгруппируем двадцать девять шестых долей в полные единицы: для каждой единицы нужно шесть долей. Деление числителя на знаменатель покажет число полных групп и доли, которые останутся.

1. Разделим числитель на знаменатель: 29 : 6 = 4 (ост. 5), так как 6·4 = 24, а 29 − 24 = 5.
2. Запишем частное 4 целой частью, остаток 5 — числителем, а знаменатель 6 сохраним.
3. Получим смешанное число 4 5/6. Проверим: 4·6 + 5 = 29, поэтому обратный перевод даёт 29/6.

Ответ: 29/6 = 4 5/6. Остаток 5 меньше знаменателя 6, значит, дробную часть уже нельзя превратить в ещё одну целую единицу.

Типичные ошибки

При переводе смешанного числа иногда умножают на знаменатель только числитель дробной части. Так забывают, что целые единицы тоже состоят из таких долей: например, в трёх целых не две, а пятнадцать пятых. Проверяй вычисление на примере 3 2/5: верный числитель равен 3·5 + 2. Если ответ меньше числа целых единиц, в подсчёте потерялись доли.

При выделении целой части некоторые записывают остаток знаменателем. Это происходит из-за смешения двух ролей: знаменатель показывает размер доли, а остаток — сколько долей осталось. В числе 29/6 остаток 5 становится числителем, а знаменатель 6 не меняется. Проверь себя: дробная часть должна быть составлена из шестых, а не из дробей с произвольно изменённым знаменателем.

Иногда после выделения целой части оставляют в дробной части неправильную дробь. Значит, деление числителя на знаменатель остановили слишком рано: в остатке ещё могла скрываться целая единица. Например, остаток 8 при знаменателе 7 нужно разделить ещё раз. Проверь, что числитель дробной части меньше знаменателя.

Смешанное число могут ошибочно принять за произведение целой части и дроби. Такое прочтение неверно: запись 2 1/3 означает 2 + 1/3, а не 2·1/3. Ошибку помогает заметить смысл числа: две целые и ещё треть должны быть больше двух. Переведи запись в неправильную дробь, чтобы проверить: 2 1/3 = 7/3.

Связь с другими темами

Для работы со смешанными числами нужно понимать, что показывают числитель и знаменатель, различать правильные и неправильные дроби и уметь делить с остатком. Эти знания объясняют, почему при переводе знаменатель сохраняется, а остаток становится числителем. Смешанные числа пригодятся при сравнении, сложении и вычитании дробей. Они также помогают записывать ответы в задачах на величины, которые превышают одну единицу.

Что запомнить

• Смешанное число состоит из целой части и правильной дроби.
• Смешанное число можно понимать как сумму целой части и дроби.
• Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, умножь целую часть на знаменатель и прибавь числитель.
• Знаменатель при переводе смешанного числа не меняется.
• Чтобы выделить целую часть, раздели числитель неправильной дроби на знаменатель.
• Частное становится целой частью, а остаток — числителем дробной части.
• Если деление выполняется без остатка, дробь равна натуральному числу.