"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Деление помогает разделить предметы поровну или узнать, сколько одинаковых групп получится. Оно связано с умножением: чтобы найти частное, нужно подобрать число, которое при умножении на делитель даст делимое. В записи a : b = c число a называют делимым, b — делителем, а c — частным. Делитель не может быть нулём. Проверяют деление умножением, а особые случаи — деление на 1, на само себя и нуля на число — подчиняются простым правилам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление — действие, обратное умножению. Оно помогает разделить количество на равные части или узнать, сколько раз одно число содержится в другом. Например, деление подходит, когда нужно поровну раздать предметы или составить из них одинаковые группы.
Делимое — число, которое делят. В записи a : b = c делимое стоит перед знаком деления: это число a. Оно показывает общее количество, которое нужно распределить или разбить на группы.
Делитель — число, на которое делят; в записи a : b = c это число b. Оно может обозначать количество равных частей или количество предметов в каждой группе. Делитель не бывает равен нулю: деление на ноль не имеет результата.
Частное — результат деления, то есть число c в записи a : b = c. Запись a : b — это выражение, а его значение — число, которое получится после вычисления. Например, в выражении 12 : 3 значение равно 4, поэтому 4 — частное.
Деление связано с умножением, потому что эти действия как бы выполняют противоположные задачи. При умножении мы узнаём, сколько предметов получится в нескольких равных группах, а при делении ищем размер группы или их количество. Чтобы найти частное a : b, подбирают число c, для которого b · c = a. Если такое число найдено, то a : b = c.
Представь, что 12 конфет нужно поровну раздать трём детям. Каждому достанется по 4 конфеты, потому что 4 · 3 = 12, значит, 12 : 3 = 4. Это пример деления на равные части: число детей известно, а сколько получит каждый — нужно узнать. Можно поставить другой вопрос: сколько коробок по 3 конфеты получится из 12 конфет? Ответ тоже 4, но теперь известно количество в одной группе, а ищут число групп.
Проверить деление можно с помощью умножения, поскольку умножение восстанавливает общее количество. Частное умножают на делитель, и результат должен совпасть с делимым: если a : b = c, то c · b = a. Например, после вычисления 35 : 5 = 7 проверяем: 7 · 5 = 35. Если при проверке получилось другое число, значит, нужно пересмотреть вычисление.
Некоторые деления можно сразу выполнить по простым правилам. При делении на 1 число остаётся прежним: a : 1 = a, потому что всё количество распределяется в одну часть. Ненулевое число, делённое на себя, равно 1: a : a = 1, ведь в нём помещается одна целая такая величина. Ноль, разделённый на ненулевое число, равен нулю: 0 : a = 0, поскольку ноль предметов можно распределить между участниками, и каждый получит ноль.
Делить на ноль нельзя, потому что деление должно отвечать на вопрос о числе, которое при умножении на делитель даст делимое. Если делитель равен нулю, произведение любого числа на него равно нулю. Поэтому для ненулевого делимого подходящего частного не существует, а для нулевого делимого ответ не был бы единственным: любое число при умножении на ноль даёт ноль. В обоих случаях выражение с делением на ноль не определено.
Таблица помогает быстро вспомнить результат особых делений. В строках, где указано условие a ≠ 0, число a не должно быть нулём. Пользуйся этими правилами, когда соответствующий случай встречается в вычислении.
| Случай | Запись | Результат или условие |
|---|---|---|
| Деление числа на 1 | a : 1 | a |
| Деление числа на само себя | a : a | 1, если a ≠ 0 |
| Деление нуля на число | 0 : a | 0, если a ≠ 0 |
| Деление на ноль | a : 0 | Не определено |
Задача 1. Вычислите 56 : 7. Нужно подобрать число, которое при умножении на 7 даст 56. Вспомним таблицу умножения и затем проверим найденное частное обратным действием.
Ответ: 8. Проверка показывает, что число подобрано верно. При делении можно обращаться к таблице умножения, потому что частное и произведение связаны обратными действиями. Сначала полезно убедиться, что множители стоят в подходящей паре.
Задача 2. Найдите x, если 8 · x = 72. Здесь неизвестен один из множителей, а известны произведение и второй множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Ответ: x = 9. Мы нашли число, которое подходит вместо x, и проверили его в исходном равенстве. Деление здесь нужно не для распределения предметов, а для поиска неизвестного множителя. Такой способ работает потому, что умножение и деление связаны как обратные действия.
Задача 3. 48 карандашей поровну разложили в 6 коробок. Сколько карандашей в каждой коробке? Общее количество карандашей известно, как и число коробок. Слова «поровну» подсказывают, что нужно разделить предметы на равные части и узнать размер каждой части.
Ответ: 8 карандашей в каждой коробке. В ответе указаны и число, и единица измерения, потому что спрашивали о количестве карандашей. Проверка подтверждает, что все 48 карандашей распределены без остатка. Если бы задача спрашивала, сколько коробок получится при известном количестве карандашей в каждой, смысл деления был бы другим, хотя действие могло бы остаться тем же.
Иногда меняют местами делимое и делитель и считают, что a : b и b : a дают одинаковый результат. Так бывает из-за того, что при умножении множители можно переставлять, а деление устроено иначе. Например, 12 : 3 = 4, а 3 : 12 не равно 4. Проверяй, какое количество делят и на сколько частей или групп.
Другая ошибка — считать, что a : 0 = 0. Возможно, так думают потому, что при делении нуля на ненулевое число действительно получается ноль. Но деление на ноль не определено: проверка потребовала бы умножить предполагаемое частное на 0 и получить делимое. Для ненулевого делимого это невозможно.
Некоторые записывают a : a = 0, потому что замечают одинаковые числа и связывают результат с вычитанием. Но здесь выполняется деление: ненулевое число содержит само себя ровно один раз, поэтому a : a = 1. Чтобы проверить ответ, умножь его на делитель: 1 · a = a. Условие a ≠ 0 обязательно, иначе получилось бы деление на ноль.
Проверка деления сложением или делением частного на делитель не подтверждает результат. Ошибку допускают, когда забывают связь деления с умножением или путают, какое действие обратное. Правильная проверка: частное умножить на делитель и сравнить произведение с делимым. Например, для 56 : 7 = 8 проверяем 8 · 7 = 56.
Для деления полезно знать таблицу умножения и понимать, как устроены равные группы: деление помогает перейти от общего количества к числу групп или числу предметов в каждой группе. Оно встречается в задачах на равное распределение и помогает находить неизвестный множитель. Например, если известно произведение и один множитель, второй находят делением. Эти знания пригодятся при делении многозначных натуральных чисел и при делении с остатком.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Умножь полученное частное на делитель. Если получилось делимое, деление выполнено правильно. Например, для 56 : 7 = 8 проверка такая: 8 · 7 = 56.
Почему на ноль делить нельзя?
При делении a : 0 нужно найти число, которое при умножении на 0 даст a. Но любое число, умноженное на 0, равно 0. Поэтому для ненулевого a такого частного нет, а выражение с делением на ноль не определено.
Чему равно число, делённое на единицу?
Число, делённое на 1, равно самому себе: a : 1 = a. При делении на одну равную часть всё число остаётся целиком.
Почему ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю?
Нужно найти число, которое при умножении на делитель даст 0. Это число — 0, потому что 0 · a = 0. Поэтому 0 : a = 0, если a ≠ 0.
Всегда ли деление можно заменить умножением?
Деление связано с умножением: частное c удовлетворяет равенству b · c = a. Это помогает найти частное и проверить его, но не означает, что можно просто заменить знак деления знаком умножения. На ноль делить нельзя.
12. Деление
