Раздел I. Десятичные дроби

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это дробь, которую можно представить со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, 3/10 и 27/100 — обыкновенные дроби, связанные с десятичной записью. Такая форма помогает удобно записывать части единицы и выполнять с ними вычисления.

Десятичная запись дроби — запись числа с запятой, которая отделяет целую часть от дробной. Слева от запятой находятся целые единицы, справа — их части. Например, в числе 6,42 целая часть равна 6, а дробная показывает 42 сотых.

Разряд десятичной дроби — место цифры, которое определяет её значение. Первая цифра после запятой обозначает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Поэтому цифра 4 в числе 0,4 означает четыре десятых, а в числе 0,04 — четыре сотых.

Равные десятичные дроби — записи, которые обозначают одно и то же число, хотя в них может быть разное количество цифр. Если приписать нули справа после запятой, значение не изменится: 0,7 = 0,70. Это правило нужно, чтобы удобно сравнивать дроби и приводить их к одинаковому числу разрядов.

Как это устроено

Дроби со знаменателями 10, 100 и 1000 записывают короче с помощью запятой: знаменатель подсказывает число знаков после неё. В дроби 7/10 одна цифра после запятой, поэтому получаем 0,7; в 23/100 — две цифры, значит, 0,23. Для 408/1000 нужны три знака, и запись будет 0,408. Если цифр в числителе не хватает, слева от него в дробной части добавляют нули, например 5/100 = 0,05.

Чтобы прочитать десятичную дробь, сначала называют целую часть, а затем дробную часть вместе с названием её разряда. Число знаков после запятой помогает определить этот разряд: один знак означает десятые, два — сотые, три — тысячные. Например, 12,35 читается как «двенадцать целых тридцать пять сотых». Если после запятой стоит 0, он тоже занимает разряд, поэтому 0,06 — это шесть сотых, а не шесть десятых.

Каждая следующая цифра после запятой соответствует доле единицы, которая в десять раз меньше предыдущей. Единицу можно разделить на десять частей — получатся десятые; каждую десятую разделить ещё на десять — получатся сотые. Поэтому 0,1 — одна десятая, а 0,01 — одна сотая. Разрядная запись показывает, сколько таких долей содержится в числе.

При сравнении десятичных дробей сначала сравнивают целые части: число с большей целой частью будет больше. Если целые части равны, сравнивают цифры после запятой по порядку, от десятых к более мелким разрядам. Чтобы сравнение было проще, к дроби с меньшим количеством цифр справа можно приписать нули: например, 5,08 и 5,80. Нули не меняют число, но делают разряды наглядными.

Округление заменяет число близким значением с меньшим количеством разрядов. Сначала находят заданный разряд, затем смотрят на цифру сразу справа от него. Если эта цифра меньше 5, последнюю оставляемую цифру не меняют; если она равна 5 или больше, эту цифру увеличивают на единицу. Все цифры правее округляемого разряда отбрасывают, потому что ответ должен быть записан с требуемой точностью.

Десятичная запись и действия с ней

Сначала определите, что именно нужно сделать: перевести дробь, прочитать число, сравнить или округлить его. В таблице собраны правила и короткие примеры для каждого случая. При сравнении и округлении особенно внимательно следите за разрядами.

Разбор задач

Задача. Запишите дроби 7/10, 23/100 и 408/1000 в виде десятичных дробей и прочитайте полученные числа. Решение:

1. В знаменателе 10 один ноль, значит, после запятой оставляем один знак: 7/10 = 0,7.
2. В знаменателе 100 два нуля, поэтому записываем две цифры после запятой: 23/100 = 0,23.
3. В знаменателе 1000 три нуля, значит, нужны три знака: 408/1000 = 0,408.
4. Читаем числа по разряду последней цифры: ноль целых семь десятых; ноль целых двадцать три сотых; ноль целых четыреста восемь тысячных.

Ответ: 0,7; 0,23; 0,408. При переводе важно сохранять нужное количество знаков после запятой: например, для сотых в числе 0,08 ноль тоже занимает разряд десятых.

Задача. Сравните 5,08 и 5,8; 0,37 и 0,370; 12,4 и 12,39. Решение:

1. У первой пары целые части равны. Записываем 5,8 как 5,80 и сравниваем сотые: 08 < 80, значит, 5,08 < 5,8.
2. Во второй паре добавленный ноль не меняет значение числа, поэтому 0,37 = 0,370.
3. В третьей паре целые части равны. Записываем 12,4 как 12,40; поскольку 40 сотых больше 39 сотых, 12,4 > 12,39.

Ответ: 5,08 < 5,8; 0,37 = 0,370; 12,4 > 12,39. Нули справа помогают сравнить одинаковые разряды, но не увеличивают и не уменьшают дробь.

Задача. Округлите 18,746 до десятых и до сотых, а затем объясните, почему результаты различаются. Решение:

1. Для округления до десятых оставляем 18,7 и смотрим на следующую цифру — 4 в разряде сотых. Она меньше 5, поэтому десятые не меняются: 18,746 ≈ 18,7.
2. Для округления до сотых оставляем 18,74 и проверяем следующую цифру — 6 в разряде тысячных. Она не меньше 5, поэтому цифру сотых увеличиваем на единицу: 18,746 ≈ 18,75.

Ответ: до десятых — 18,7, до сотых — 18,75. Результаты различаются, потому что в каждом случае проверяется своя цифра: для десятых — цифра сотых, для сотых — цифра тысячных.

Типичные ошибки

Неверно считать, что дробь с большим количеством цифр после запятой обязательно больше. Так думают, потому что сравнивают длину записи, а не значение разрядов. Например, 0,8 = 0,80, и это больше, чем 0,75. Для проверки допишите нули справа и сравните цифры по разрядам.

Нельзя сравнивать дробные части как целые числа, если у них разная длина: из-за этого можно решить, что 0,8 меньше 0,75. Ошибка возникает, когда забывают, что 8 в первой дроби — это восемь десятых. Запишите 0,8 как 0,80: теперь видно, что 80 сотых больше 75 сотых.

Нули справа после запятой не увеличивают значение дроби: 0,50 не больше 0,5. Их принимают за дополнительные доли, потому что число знаков в записи становится больше. Проверьте дроби переводом в обыкновенную форму: 0,5 — это 5/10, а 0,50 — 50/100, и эти дроби равны.

При округлении нельзя смотреть только на цифру округляемого разряда. Решение зависит от цифры, которая стоит сразу после него: именно она показывает, достаточно ли увеличить оставляемый разряд. Например, при округлении 3,46 до десятых смотрят на 6 в сотых и получают 3,5. Чтобы проверить себя, сначала подчеркните заданный разряд, а затем найдите соседнюю цифру справа.

Связь с другими темами

Для работы с десятичными дробями нужно знать обыкновенные дроби, доли единицы, деление на 10, 100 и 1000, а также разрядный состав натуральных чисел. Эти знания помогают понять, откуда берутся десятичные записи и что означают цифры в них. Позже десятичные дроби понадобятся при изучении сложения, вычитания, умножения и деления. Они встречаются в измерениях длины, массы, времени и стоимости, а также при записи приближённых значений.

Что запомнить

• Запятая отделяет целую часть числа от дробной.
• Первый знак после запятой обозначает десятые, второй — сотые, третий — тысячные.
• Число знаков после запятой соответствует разряду дроби, но само по себе не определяет её величину.
• Нули, приписанные справа после запятой, не меняют значения дроби.
• При сравнении сначала сравнивают целые части, затем дробные.
• При округлении учитывают цифру, стоящую сразу после заданного разряда.