6.2. Вычитание дробей

Определения и обозначения

Разность дробей — результат, который получают, когда из одной дроби вычитают другую. Например, в записи 5/8 − 2/8 разность равна 3/8. Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и смотрят, получилось ли уменьшаемое.

Дроби с одинаковыми знаменателями — дроби, у которых числа под чертой равны. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, то есть задаёт размер каждой доли. Это нужно учитывать, чтобы вычитать только доли одинакового размера.

Общий знаменатель — одинаковый знаменатель, к которому приводят дроби перед вычитанием. После этого дроби можно сравнивать и вычитать их числители, потому что доли будут одинаковыми. Например, для 1/2 и 1/3 общим знаменателем может быть 6.

Смешанное число состоит из целой части и дробной части, например 2 3/5. При вычитании такого числа отдельно работают с целыми и дробными частями, а если дробной части уменьшаемого не хватает, одну целую единицу превращают в дробь. Это помогает выполнить вычитание, не меняя значение числа.

Как это устроено

При одинаковых знаменателях вычитают числители, а знаменатель оставляют прежним. Например, 6/11 − 2/11 = 4/11: мы убираем две доли из шести, но каждая доля по-прежнему составляет одну одиннадцатую целого. Если вычесть знаменатели, размер доли тоже изменится, а это уже будет не то действие. Поэтому правило связано с тем, что вычитаются доли одного и того же размера.

Если знаменатели разные, сначала нужно сделать доли одинаковыми. Иначе, например, шестые и четверти нельзя просто считать одинаковыми кусочками: одна четверть больше одной шестой. Общий знаменатель показывает, на сколько одинаковых частей можно представить оба целых. Когда дроби записаны через такие части, вычитание становится понятным и выполняется по числителям.

Чтобы привести дробь к общему знаменателю, её заменяют равной дробью. Для этого числитель и знаменатель умножают на одно и то же число: например, 1/3 = 4/12, потому что и число долей, и общее число частей увеличились в четыре раза. Значение дроби при этом не изменилось. Умножают обе части дроби, чтобы сохранить прежнее отношение между числителем и знаменателем.

Если числитель уменьшаемого меньше числителя вычитаемого, при одинаковых знаменателях вычитать напрямую неудобно: получилась бы отрицательная дробная часть, которой в данном примере не требуется. Смешанное число можно представить иначе, заняв одну единицу у целой части. Например, 2 1/5 = 1 6/5: одна целая равна 5/5, и вместе с 1/5 это 6/5. Теперь дробной части достаточно для вычитания.

После вычисления стоит посмотреть, можно ли упростить ответ. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, дробь сокращают, не меняя её значения. Неправильную дробь, у которой числитель не меньше знаменателя, при необходимости записывают смешанным числом. Такой ответ проще прочитать и удобнее использовать в задаче.

Как вычитать дроби

Сначала определите, какие знаменатели у дробей и есть ли в записи целые части. Затем выберите подходящую строку таблицы и выполните действие. После вычисления проверьте, не нужно ли сократить дробь или выделить целую часть.

Разбор задач

Вычислите 7/9 − 2/9.

Знаменатели равны, значит, дроби уже выражены в одинаковых долях. Нужно узнать, сколько девятых останется, если из семи девятых убрать две. Знаменатель сохраняем, поскольку размер долей не меняется.

1. Вычитаем числители: 7 − 2 = 5.
2. Оставляем знаменатель 9 и записываем результат: 5/9.
3. Проверяем сложением: 5/9 + 2/9 = 7/9, получили уменьшаемое.

Ответ: 5/9.

Вычислите 5/6 − 1/4.

Знаменатели разные, поэтому нельзя сразу вычитать числители: шестые и четверти имеют разный размер. Найдём число, которое делится и на 6, и на 4; подойдёт 12. Представим обе дроби в двенадцатых, сохраняя их значения.

1. Для 5/6 знаменатель 6 умножаем на 2, поэтому числитель тоже умножаем на 2: 5/6 = 10/12.
2. Для 1/4 знаменатель 4 умножаем на 3 и числитель тоже умножаем на 3: 1/4 = 3/12.
3. Вычитаем числители: 10/12 − 3/12 = 7/12.
4. Проверяем: 7/12 + 3/12 = 10/12 = 5/6. Дробь 7/12 сократить нельзя.

Ответ: 7/12.

Вычислите 3 1/5 − 1 3/4.

Сначала приведём дробные части к общему знаменателю 20: 1/5 = 4/20, а 3/4 = 15/20. Четырёх двадцатых меньше, чем пятнадцати двадцатых, поэтому нужно занять одну целую единицу у числа 3. Единица равна 20/20, и её можно прибавить к дробной части.

1. Записываем уменьшаемое с занятым целым: 3 4/20 = 2 24/20.
2. Вычитаем целые части: 2 − 1 = 1.
3. Вычитаем дробные части: 24/20 − 15/20 = 9/20.
4. Собираем ответ: 1 9/20. Проверка: 1 9/20 + 1 3/4 = 1 9/20 + 1 15/20 = 3 4/20 = 3 1/5.

Ответ: 1 9/20.

Типичные ошибки

• Вычитают знаменатели вместе с числителями. Так делают, потому что воспринимают дробь как две отдельные цифры, но знаменатель обозначает размер доли. Проверьте себя: при одинаковых знаменателях в ответе должен остаться тот же знаменатель, например 5/8 − 2/8 = 3/8.
• Вычитают дроби с разными знаменателями без приведения. Ошибка возникает, если забыть, что доли разного размера нельзя считать одинаковыми. Найдите общий знаменатель и только после этого вычитайте; проверка — обе дроби должны быть записаны с одинаковым знаменателем.
• При приведении умножают только числитель. Числитель и знаменатель изменяют вместе, иначе значение дроби меняется. Например, 1/3 = 2/6, а не 2/3. Убедитесь, что обе части дроби умножены на одно и то же число.
• Забывают занять единицу или неверно превращают её в дробь. Это случается, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Запишите единицу как дробь со знаменателем дробных частей: например, 1 = 5/5; затем проверьте, что целая часть уменьшилась на 1, а общее значение числа осталось прежним.

Связь с другими темами

Для вычитания дробей полезно уметь находить равные дроби, сокращать их и приводить к общему знаменателю. Эти действия помогают подготовить дроби к вычислению и привести ответ к удобному виду. Само вычитание встречается в задачах на части величины, длины, массы и времени: например, можно узнать, сколько осталось после использования части запаса. Дальше действия с дробями понадобятся при вычислении выражений и решении уравнений.

Что запомнить

• При одинаковых знаменателях вычитают числители.
• Знаменатель при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями сохраняют.
• Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю.
• Равную дробь получают, умножая числитель и знаменатель на одно и то же число.
• При вычитании смешанных чисел иногда нужно занять единицу у целой части.
• Результат при необходимости сокращают или записывают смешанным числом.