Раздел III. Дроби

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — это запись одной или нескольких равных долей целого. Например, 3/8 означает три доли, если целое разделили на восемь одинаковых частей. Дроби нужны, когда целого числа недостаточно, чтобы точно описать часть предмета или величины. Так можно записать часть пиццы, пройденного пути или прочитанной книги.

Числитель дроби — число над чертой, которое показывает, сколько равных долей взяли. В дроби 3/8 числитель равен 3: взяли три части. По числителю можно понять, сколько долей участвует в записи. Без него нельзя узнать, какую часть целого рассматривают.

Знаменатель дроби — число под чертой, которое показывает, на сколько равных долей разделили целое. В дроби 3/8 знаменатель равен 8, значит, целое разделено на восемь одинаковых частей. Он помогает определить размер каждой доли: чем больше равных частей, тем меньше каждая из них. Знаменатель не может быть нулём.

Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например 3/8; она меньше единицы. Неправильная дробь имеет числитель, равный знаменателю или больший него, например 8/8 или 11/8. Сравнение числителя и знаменателя сразу подсказывает, меньше ли дробь целого или составляет целое и, возможно, ещё часть.

Как это устроено

Чтобы записать часть целого дробью, сначала делят целое на равные части: равенство частей необходимо, иначе у долей будет разный размер. Число всех частей становится знаменателем, а число выбранных частей — числителем. Например, если фигуру разделили на восемь равных частей и закрасили три, получили 3/8. Деление на ноль невозможно, поэтому нельзя разделить целое на ноль частей и поставить ноль в знаменатель.

Если знаменатели одинаковые, доли имеют одинаковый размер, поэтому достаточно сравнить, сколько долей взято. Так, 5/9 < 7/9: девятые части одинаковы, а пяти таких частей меньше, чем семи. Если одинаковы числители, сравнивают размер долей: при делении целого на меньшее число частей каждая часть крупнее. Поэтому 4/7 > 4/5: четыре седьмых больше четырёх пятых.

При разных знаменателях сравнивать только числители нельзя: сами доли могут быть разного размера. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, то есть заменяют равными дробями, в которых доли одинаковые. Например, 1/2 = 4/8, поэтому можно сравнить половину и 3/8 как 4/8 и 3/8. После этого сравнивают числители и видят, какая дробь больше.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складывают числители, а знаменатель сохраняют: размер доли не меняется, увеличивается только число долей. Например, 3/8 + 2/8 = 5/8. При вычитании по той же причине вычитают числители: 5/8 − 2/8 = 3/8. Если знаменатели разные, это правило сразу применять нельзя, потому что доли имеют неодинаковый размер.

Неправильную дробь можно разложить на целое число и оставшуюся часть. Для этого числитель делят на знаменатель: частное показывает число целых, а остаток — числитель дробной части; знаменатель остаётся прежним. Например, 11/4 = 2 3/4, потому что 11 : 4 = 2 и остаток 3. Смешанное число, например 2 3/4, означает сумму целой части и дроби: 2 + 3/4.

Виды дробей и их смысл

Сначала сравните числитель и знаменатель: так можно определить, правильная дробь или неправильная. Затем посмотрите, делится ли числитель на знаменатель без остатка: в этом случае дробь равна целому числу. Смешанное число удобно использовать, когда неправильную дробь нужно представить как несколько целых и оставшуюся часть.

Разбор задач

Закрасьте 3 из 8 равных частей фигуры и запишите, какая часть закрашена.

В условии уже сказано, что фигура разделена на равные части, поэтому каждую из них можно считать одной и той же долей. Чтобы записать закрашенную часть, нужно указать и число всех частей, и число закрашенных. Сначала определяем знаменатель, затем числитель.

1. Всего частей — 8, поэтому знаменатель равен 8.
2. Закрашено 3 части, поэтому числитель равен 3.
3. Записываем дробь: 3/8. Проверяем: числитель меньше знаменателя, значит, закрашена часть меньше целой фигуры.

Ответ: закрашено 3/8 фигуры. Порядок чисел в записи не случайный: снизу указывают все равные части, а сверху — выбранные. Если закрасить все восемь частей, получилось бы 8/8, то есть целая фигура.

Сравните дроби 5/9 и 7/9, затем 4/7 и 4/5.

В первой паре знаменатели одинаковые, значит, сравниваем девятые доли одинакового размера. Во второй паре одинаковые числители, поэтому нужно сравнить размер долей. Эти два случая требуют разных рассуждений, и путать их нельзя.

1. Сравниваем 5/9 и 7/9: 5 < 7, поэтому 5/9 < 7/9.
2. Сравниваем 4/7 и 4/5: при делении целого на 7 частей каждая часть крупнее, чем при делении на 5 частей? Нет: при делении на 5 частей доля крупнее, поэтому 4/5 > 4/7.
3. Записываем результат второй пары: 4/7 < 4/5.

Ответ: 5/9 < 7/9; 4/7 < 4/5. В первой паре больше числитель — больше дробь, а во второй больший знаменатель при одинаковом числителе означает меньшие доли. Такой способ рассуждения позволяет не сравнивать числа в записи вслепую.

В первый день прочитали 3/8 книги, а во второй — 2/8. Какую часть книги прочитали за два дня и какая часть осталась?

Обе доли выражены в восьмых частях книги, поэтому их размер одинаков. Сначала найдём, сколько восьмых прочитали за два дня, сложив числители. Затем представим целую книгу как 8/8 и вычтем прочитанную часть.

1. За два дня прочитали 3/8 + 2/8 = 5/8 книги.
2. Целая книга — это 8/8, поэтому осталось 8/8 − 5/8 = 3/8.
3. Проверяем смысл: прочитанная и оставшаяся части вместе дают 5/8 + 3/8 = 8/8, то есть целую книгу.

Ответ: за два дня прочитали 5/8 книги, осталось 3/8. Знаменатель сохраняется, потому что все части книги по-прежнему делят её на восемь равных долей. Результат можно проверить сложением прочитанной и оставшейся частей.

Типичные ошибки

Иногда знаменатель принимают за число взятых долей, а числитель — за число всех частей. Так ошибаются, потому что оба числа стоят рядом и легко перепутать их роли. Проверьте запись вопросами: «На сколько частей разделили целое?» — ответ должен быть в знаменателе; «Сколько взяли?» — в числителе.

При сложении или вычитании иногда меняют и числитель, и знаменатель. Это неверно: при одинаковых знаменателях размер каждой доли сохраняется, меняется только их количество. Чтобы проверить себя, прочитайте вычисление словами: складываются взятые доли одного и того же размера.

Дроби с разными знаменателями порой сравнивают только по числителям. Но, например, пятая и седьмая части имеют разный размер, поэтому большие числители сами по себе не гарантируют большую дробь. Проверьте, одинаковы ли знаменатели; если нет, сначала приведите дроби к общему знаменателю.

Запись с нулём в знаменателе недопустима, хотя ноль может показаться просто ещё одним числом. Знаменатель означает число частей, на которые разделили целое, а разделить на ноль частей нельзя. Проверяйте знаменатель в каждой дроби: он должен быть отличен от нуля.

Связь с другими темами

Для работы с дробями нужны деление и умножение натуральных чисел, а также понимание того, что целое можно разделить на равные части. Навыки сравнения и вычислений с дробями пригодятся при изучении десятичных дробей, отношений и процентов. Дробями описывают части величины, результаты измерений и распределение предметов между людьми. Поэтому эта тема встречается не только в примерах, но и в обычных практических задачах.

Что запомнить

• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое.
• Числитель показывает, сколько таких частей взяли.
• Знаменатель дроби не равен нулю.
• При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой числитель больше.
• Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю.
• При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель сохраняют.
• Неправильную дробь можно представить смешанным числом.