"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Многозначные числа складывают и вычитают по разрядам: единицы записывают под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотнями. Вычисления выполняют столбиком справа налево, потому что именно так удобно учитывать переносы и заимствования. Нужно понимать значение каждой цифры, правильно переходить между разрядами и проверять ответ обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, в записи которого две или более цифры: например, 347 или 12 508. Значение цифры зависит от её места: в числе 347 цифра 3 означает 3 сотни, 4 — 4 десятка, а 7 — 7 единиц. Такой разбор помогает правильно выполнять действия по разрядам.
Разряд — позиция цифры в записи числа, связанная с единицами, десятками, сотнями, тысячами и другими единицами счёта. От положения цифры зависит её вклад в число: одна и та же цифра может обозначать единицы или сотни. Знание разрядов нужно, чтобы выравнивать числа и не смешивать разные виды единиц.
Разрядная единица — единица определённого разряда: 1, 10, 100, 1000 и далее. Десять единиц одного разряда образуют одну единицу следующего старшего разряда. Это правило объясняет перенос при сложении и заимствование при вычитании.
Письменные сложение и вычитание — способы вычисления, при которых числа записывают столбиком и действуют по разрядам справа налево. В каждом столбце складывают или вычитают цифры одного разряда. Такая запись делает переносы и заимствования заметными.
Числа выравнивают по разрядам, а не просто по краю записи, потому что цифры в одинаковых позициях имеют одинаковое значение. Единицы должны стоять под единицами, десятки — под десятками, иначе, например, десятки одного числа могут попасть под сотни другого. Правый край обычно совпадает с разрядом единиц, поэтому при записи столбиком ориентируются на него.
Сложение начинают с единиц, а затем переходят к десяткам, сотням и следующим разрядам. Так перенос из одного столбца можно сразу добавить к следующему старшему разряду. При движении справа налево каждая новая цифра результата учитывает только свой разряд и возможную единицу переноса.
Если в столбце при сложении получилось 10 или больше, число можно разделить на единицы данного разряда и одну или несколько единиц следующего. Например, 8 единиц и 7 единиц дают 15 единиц: 5 записывают в столбце единиц, а 1 десяток переносят к десяткам. Перенос означает не добавление лишней цифры, а замену десяти единиц одной разрядной единицей.
При вычитании сравнивают цифры уменьшаемого и вычитаемого в одном разряде. Если цифры уменьшаемого недостаточно, занимают одну единицу соседнего старшего разряда и превращают её в 10 единиц текущего разряда. После этого цифра старшего разряда уменьшается на 1, а вычитание продолжается справа налево.
Результат полезно проверять обратным действием, потому что сложение и вычитание связаны между собой. Из суммы вычитанием одного слагаемого можно получить другое, а к разности прибавлением вычитаемого — уменьшаемое. Дополнительная оценка по величине тоже помогает заметить ошибку: сумма не может быть меньше каждого положительного слагаемого, а разность обычно меньше уменьшаемого.
Таблица показывает общий порядок действий. Пользуйся ею как кратким алгоритмом: сначала проверь запись чисел, затем выполняй вычисление справа налево и не пропускай перенос или заимствование.
После получения ответа выполни обратную проверку. Если она не даёт исходное число, нужно заново проверить запись и каждый разряд.
| Этап | Сложение | Вычитание |
|---|---|---|
| Запись чисел | Разрядно выровнять слагаемые и провести черту | Разрядно выровнять уменьшаемое и вычитаемое и провести черту |
| Начало вычисления | Начинать с разряда единиц | Начинать с разряда единиц |
| Действие в разряде | Сложить цифры соответствующих разрядов | Вычесть цифры вычитаемого из цифр уменьшаемого |
| Переход между разрядами | При результате 10 и более записать цифру разряда и выполнить перенос | При нехватке единиц занять одну единицу соседнего старшего разряда |
| Проверка | Проверить вычитанием | Проверить сложением |
Нужно сложить трёхзначные числа. Запишем их столбиком так, чтобы единицы, десятки и сотни находились в соответствующих столбцах. Начнём с единиц и будем учитывать перенос в следующий разряд.
Ответ: 347 + 526 = 873.
В разряде единиц число 2 меньше 6, но в разряде десятков стоит 0. Поэтому нельзя занять десяток сразу: нужно пройти через нулевые разряды к пяти тысячам. Последовательно изменим запись уменьшаемого, а затем выполним вычитание по столбцам.
Ответ: 5002 − 2786 = 2216.
В выражении сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их слева направо. Сначала найдём сумму первых двух чисел, затем вычтем из неё 12 479. После этого проверим оба действия обратными вычислениями.
Ответ: значение выражения равно 43 785.
Цифры записывают не по разрядам, ориентируясь только на левый или случайный край. Так возникают действия с единицами одного числа и десятками другого. Проверь, стоят ли единицы под единицами, десятки под десятками, а затем сравни количество цифр в столбцах.
При сложении забывают перенести десяток или переносят его дважды. Ошибка появляется, когда после вычисления одного столбца сразу переходят к следующему и не отмечают перенос. Записывай перенос над соседним разрядом и учитывай его ровно один раз.
При вычитании занимают единицу, но не уменьшают соседний старший разряд. Тогда результат в старшем столбце получается завышенным. После заимствования сначала измени цифру старшего разряда, а затем продолжай вычисление.
Ноль ошибочно считают препятствием для заимствования. На самом деле через нулевой разряд можно перейти к ближайшему ненулевому старшему разряду, последовательно изменив промежуточные цифры. Проверка сложением быстро покажет, правильно ли выполнена такая цепочка.
До этой темы нужно знать разрядный состав многозначного числа, значение цифры в записи и таблицу сложения и вычитания однозначных чисел. Эти навыки нужны при вычислениях с величинами, решении текстовых задач, нахождении периметра и площади. Позже те же алгоритмы применяются при сложении и вычитании десятичных дробей, денежных величин и многозначных выражений.
Почему числа при вычислении столбиком выравнивают именно по правому краю?
Правый край соответствует разряду единиц, поэтому под ним должны оказаться единицы обоих чисел. Тогда десятки, сотни и следующие разряды тоже совпадут. Выравнивание по левому краю может привести к сложению или вычитанию цифр разных разрядов.
С какого разряда нужно начинать сложение и вычитание?
Оба действия начинают с разряда единиц, то есть справа. При сложении перенос сразу учитывается в следующем разряде, а при вычитании становится понятно, нужно ли занимать единицу.
Что делать, если при вычитании в нужном разряде стоит ноль?
Нужно перейти к ближайшему слева ненулевому старшему разряду и занять из него одну единицу. Затем эта единица последовательно превращается в 10 единиц каждого следующего разряда. Цифры промежуточных разрядов при этом изменяются.
Куда записывать единицу, полученную при переносе?
Единицу переноса записывают над цифрой следующего старшего разряда. При сложении её прибавляют к цифрам этого разряда. Нельзя забывать о ней или переносить её повторно.
Как быстро проверить правильность результата?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое. Также полезно оценить ответ по величине.
Проверь себя! Как складывают и вычитают многозначные числа
