"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Умножение многозначного числа на многозначное сводится к нескольким умножениям на цифры разрядов и сложению полученных неполных произведений. Главное — правильно учитывать значение каждой цифры: произведение на десятки сдвигают на один разряд, на сотни — на два. Такой способ помогает выполнять большие вычисления столбиком, не терять нули и проверять правдоподобность ответа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, в записи которого две или больше цифр. Каждая цифра показывает количество единиц своего разряда: например, в числе 582 цифра 5 означает 5 сотен, 8 — 8 десятков, 2 — 2 единицы. Это нужно учитывать при умножении, потому что одинаковая цифра в разных разрядах имеет разное значение.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на одну цифру второго множителя. Например, при вычислении 347 · 26 получают произведения 347 · 6 и 347 · 2, причём второе относится к десяткам. Неполные произведения нужны, чтобы разделить сложное действие на несколько понятных шагов.
Разрядный сдвиг — запись неполного произведения с началом в том разряде, которому принадлежит цифра второго множителя. При умножении на десятки запись сдвигают на один разряд, при умножении на сотни — на два. Сдвиг показывает, что результат выражен не в единицах, а в десятках, сотнях или других разрядных единицах.
Умножение столбиком — способ записи, при котором множители располагают один под другим, находят неполные произведения, а затем складывают их. Такая запись помогает не перепутать разряды и видеть переносы. Ею удобно пользоваться, когда множители содержат много цифр.
Второй множитель представляют как сумму разрядных слагаемых. Например, 26 = 20 + 6, поэтому 347 · 26 = 347 · (20 + 6) = 347 · 20 + 347 · 6. Это основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения: умножение на сумму можно заменить суммой произведений.
Каждое неполное произведение находят справа налево, начиная с единиц первого множителя. Цифру умножают на очередную цифру, к результату прибавляют перенос из предыдущего разряда, а последнюю цифру записывают в ответ. Если результат больше 9, его десятки становятся переносом в следующий разряд.
При умножении на цифру десятков фактически умножают не на 2, а на 20, если цифра десятков равна 2. Поэтому полученное число должно начинаться с разряда десятков, а единицы в записи пропускают или обозначают сдвигом. При умножении на сотни сдвиг составляет уже два разряда, потому что множитель содержит сотни.
Письменный алгоритм выполняют в определённом порядке: сначала записывают множители по разрядам, затем находят произведение на единицы, на десятки, на сотни и так далее. Каждое следующее неполное произведение располагают с нужным сдвигом. В конце все неполные произведения складывают, а результат полезно оценить округлением.
Если во втором множителе есть ноль, соответствующий разряд даёт нулевое произведение. Отдельную строку из одних нулей обычно не записывают, но положение следующего неполного произведения сохраняют. Например, при умножении на 304 произведение на 4 записывают со сдвигом на два разряда, поскольку 4 — цифра единиц, а между ней и сотнями находится нулевой разряд.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Запись множителей | Записать числа одно под другим, совместив единицы. | Первый множитель обычно располагают сверху, знаки разрядов не смешивают. |
| Умножение на цифру единиц | Умножить верхнее число на последнюю цифру нижнего. | Начинать справа и учитывать перенос. |
| Умножение на цифру следующего разряда | Умножить верхнее число на цифру десятков, сотен или следующего разряда. | Определить, какому разряду принадлежит цифра. |
| Запись неполного произведения со сдвигом | Расположить результат под нужным разрядом. | Для десятков нужен сдвиг на один разряд, для сотен — на два. |
| Сложение неполных произведений | Сложить все записанные строки по разрядам. | Проверить переносы и не пропустить строку. |
| Проверка результата | Оценить ответ с помощью округления или обратного действия. | Произведение должно быть примерно нужного порядка. |
Таблицу удобно использовать как краткий план решения: после каждого этапа проверяйте, не потерян ли разряд. Особенно внимательно сравнивайте положение единиц, десятков и сотен в неполных произведениях. Если в множителе есть ноль, пропущенную строку заменяет правильный разрядный сдвиг следующей строки.
Здесь один множитель однозначный, поэтому неполное произведение будет только одно. Начинаем с единиц числа 236 и движемся слева после каждого переноса. Такой пример показывает, как переносы переходят из одного разряда в другой.
Ответ: 236 · 4 = 944.
Второй множитель раскладывается на 20 и 6, поэтому появятся два неполных произведения. Сначала вычисляем произведение на единицы, затем на десятки. Вторую строку начинаем под десятками, поскольку она относится к 20.
Ответ: 347 · 26 = 9022.
В числе 304 цифра 3 обозначает сотни, цифра 0 — десятки, цифра 4 — единицы. Произведение на нулевые десятки не даёт отдельной ненулевой строки. Однако произведение на 3 сотни нужно записать со сдвигом на два разряда.
Ответ: 508 · 304 = 154432.
Нет разрядного сдвига. Неполные произведения иногда записывают строго одно под другим, потому что считают, что достаточно выровнять их края. Тогда десятки или сотни ошибочно принимаются за единицы; проверьте, на каком разряде начинается каждая строка.
Забытый перенос. Если при умножении получается число больше 9, ученик может записать только его последнюю цифру. Проверяйте каждую следующую цифру: к её произведению нужно прибавить перенос из предыдущего разряда.
Потерянный ноль. Ноль внутри множителя иногда просто вычёркивают вместе с его разрядом. Из-за этого следующая строка занимает неправильное место; определите разряд цифры и отсчитайте нужное число позиций сдвига.
Ошибка при сложении. Можно правильно найти неполные произведения, но неверно сложить их или пропустить одно из них. Пересчитайте строки, складывайте справа налево и сравните ответ с приблизительным произведением округлённых множителей.
Перед изучением темы нужны таблица умножения, понимание разрядного состава чисел и навык умножения многозначного числа на однозначное. Новый алгоритм опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения и на сложение многозначных чисел. Он пригодится при решении текстовых задач, вычислениях с натуральными числами и дальнейшем умножении десятичных дробей.
Почему при умножении на десятки второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Потому что цифра десятков означает не отдельные единицы, а группы по 10. Поэтому результат умножения на неё уже выражен в десятках и записывается начиная с разряда десятков.
В каком порядке умножать цифры многозначного множителя?
Обычно начинают с цифры единиц, затем переходят к десяткам, сотням и следующим разрядам. Так удобнее выполнять переносы и сразу правильно располагать неполные произведения.
Что делать, если при умножении цифр получается число больше девяти?
В разряде записывают только последнюю цифру полученного числа, а десятки переносят в следующий разряд. Перенесённое число прибавляют к следующему произведению.
Как поступать с нулём внутри одного из множителей?
Нулевой разряд даёт нулевое неполное произведение, поэтому его обычно не записывают отдельно. Но разрядное положение остальных произведений сохраняют: умножение на сотни сдвигают на два разряда, на тысячи — на три.
Как проверить, что произведение получилось правдоподобным?
Можно округлить множители и сравнить точный ответ с примерным произведением округлённых чисел. Если один множитель увеличили, а другой уменьшили незначительно, результаты должны быть близки.
Умножение многозначного числа на многозначное
