Умножение на 10, 100, 1000 и так далее

Определения и обозначения

Степень числа 10 — произведение нескольких десяток: 10 = 10¹, 100 = 10 · 10 = 10², 1000 = 10 · 10 · 10 = 10³. В записи 10, 100, 1000 число нулей показывает, сколько раз число 10 входит в произведение. Это позволяет сразу определить, на сколько разрядов изменится число при умножении.

Разрядная единица — число вида 1, 10, 100, 1000 и так далее. Единица соответствует разряду единиц, 10 — разряду десятков, 100 — разряду сотен, 1000 — разряду тысяч. Такая связь помогает видеть, куда переходит цифра: например, при умножении на 10 единицы становятся десятками, а десятки — сотнями.

Разрядная запись числа — представление числа в виде суммы разрядных слагаемых: 583 = 500 + 80 + 3. Каждое слагаемое показывает значение цифры в своём разряде. Благодаря такой записи можно объяснить правило умножения не только запоминанием, но и переходом каждого слагаемого в следующий разряд.

Как это устроено

Разложим число 347 на разрядные слагаемые: 347 = 300 + 40 + 7. При умножении на 10 получаем 300 · 10 + 40 · 10 + 7 · 10 = 3000 + 400 + 70. Каждое слагаемое стало в десять раз больше, поэтому его цифра переместилась на один разряд влево, а запись числа получила один ноль справа. Так разрядная запись объясняет, а не просто подтверждает правило.

Для натурального числа действует короткое правило: при умножении на 10, 100, 1000 и далее справа приписывают столько нулей, сколько их в множителе. Например, 56 · 10 = 560, 56 · 100 = 5600, 56 · 1000 = 56 000. Нули не добавляются случайно: они обозначают разряды, которые освободились после перехода всех цифр в более высокие разряды.

Множитель 100 содержит два нуля, поэтому при умножении цифры сдвигаются на два разряда: единицы переходят в сотни, десятки — в тысячи. Множитель 1000 содержит три нуля, поэтому сдвиг происходит сразу на три разряда. Например, 426 · 1000 = 426 000, что также видно из равенства 426 · 1000 = 400 000 + 20 000 + 6000.

У десятичной дроби тот же переход удобнее показывать запятой. При умножении на 10 запятая движется вправо на один разряд, на 100 — на два, на 1000 — на три: 3,48 · 100 = 348. Если справа от запятой или после неё не хватает цифр для такого движения, дописывают нули: 4,27 · 1000 = 4270. Нули сохраняют значение результата и показывают пройденные разряды.

Умножение на несколько нулей можно выполнять поэтапно. Число 100 равно 10 · 10, поэтому умножение на 100 — это сначала умножение на 10, затем ещё одно умножение на 10. Аналогично 1000 = 10 · 10 · 10, а 10 000 = 10 · 10 · 10 · 10. Такой способ удобен для проверки результата и связывает число нулей с количеством последовательных сдвигов.

Умножение на разрядные единицы

Сначала посмотрите на множитель и сосчитайте его нули. Затем для натурального числа добавьте это количество нулей, а для десятичной дроби перенесите запятую вправо на такое же число разрядов.

Таблица подходит и для проверки: число нулей в результате или длина переноса запятой должны совпадать с числом нулей в множителе.

Разбор задач

Вычислите 38 · 100.

Это натуральное число умножается на разрядную единицу 100. В множителе два нуля, значит, цифры числа должны перейти на два разряда, а справа появятся два нуля.

1. Записываем число 38.
2. Считаем нули в множителе 100: их два.
3. Приписываем справа два нуля: 38 · 100 = 3800.

Ответ: 3800.

Вычислите 4,27 · 100.

Для десятичной дроби нули не приписывают механически к исходной записи, а переносят запятую. Так как в числе 100 два нуля, перенос выполняется на два разряда вправо.

1. Отмечаем запятую в числе 4,27.
2. Переносим её через цифру 2 на один разряд и через цифру 7 на второй: получаем 427.
3. Записываем результат без запятой, потому что после переноса она оказалась справа от всех цифр: 4,27 · 100 = 427.

Ответ: 427.

Вычислите 0,063 · 1000 и проверьте результат оценкой.

Множитель 1000 требует переноса запятой на три разряда вправо. В записи 0,063 после запятой есть три цифры, поэтому перенос заканчивается после цифры 3 и дополнительных нулей не требуется. Проверка оценкой должна показать увеличение исходного числа примерно в тысячу раз: результат должен быть около 63.

1. Переносим запятую в числе 0,063 на один разряд: 0,63.
2. Переносим её ещё на два разряда: 6,3, затем 63.
3. Получаем 0,063 · 1000 = 63.
4. Проверяем: 0,063 меньше 0,1, а после умножения на 1000 результат должен быть меньше 100; число 63 подходит. Кроме того, 63 : 1000 = 0,063, значит, обратная проверка выполняется.

Ответ: 63.

Типичные ошибки

Один ноль вместо двух. При умножении натурального числа на 100 иногда приписывают только один ноль, потому что замечают сам факт умножения на 10. Нужно сначала сосчитать нули в множителе и сравнить с записью результата.

Перенос запятой влево. Такое происходит из-за смешения умножения и деления на степень десяти. При умножении число увеличивается, поэтому запятая движется вправо; оценка размера результата быстро обнаруживает ошибку.

Неверное число разрядов. Например, при умножении на 100 запятую переносят на один или три разряда. Проверяйте перенос счётом нулей в множителе: два нуля означают ровно два шага.

Пропуск недостающих нулей. Если цифр справа не хватает, запись обрывают слишком рано и получают другое число. После переноса проверьте, все ли требуемые разряды пройдены, и допишите нули справа, например: 4,27 · 1000 = 4270.

Связь с другими темами

Перед изучением правила нужны знания о десятичной записи чисел, разрядах и обычном умножении натуральных чисел. Разрядная запись связывает это правило с составом числа и действиями с десятичными дробями.

Умножение на степени десяти пригодится при переводе единиц измерения: например, километры переводят в метры умножением на 1000. Оно также используется в вычислениях с дробями и при работе с масштабом, когда величины увеличиваются в 10, 100 или 1000 раз.

Что запомнить

• Множители 10, 100, 1000 и далее — степени числа 10.
• При умножении натурального числа на 10, 100, 1000 справа приписывают соответственно один, два, три нуля.
• При умножении десятичной дроби на степень десяти запятая перемещается вправо.
• Число разрядов переноса равно числу нулей в множителе.
• Если цифр для переноса не хватает, справа дописывают нули.
• Умножение на 100 равносильно двум последовательным умножениям на 10.