Как делят на десятичную дробь?

Определения и обозначения

Деление на десятичную дробь — способ нахождения частного, при котором делитель сначала преобразуют в натуральное число. Натуральное число не содержит десятичной части: это 4, 35, 120 и другие целые положительные числа. Такое преобразование позволяет выполнить уже знакомое обычное деление.

Основное свойство частного означает, что частное не изменяется, если делимое и делитель умножить на одно и то же ненулевое число. Например, 7,2 : 0,4 можно заменить на 72 : 4, потому что оба числа умножили на 10. Это свойство объясняет, почему перенос запятых не меняет ответ.

Перенос запятой — изменение положения десятичной запятой при умножении числа на 10, 100, 1000 и другие разрядные единицы. При умножении на 10 запятую переносят на один знак вправо, на 100 — на два знака. Если цифр справа не хватает, число дополняют нулями.

Как это устроено

Деление на десятичную дробь заменяют делением на натуральное число благодаря основному свойству частного. Делимое и делитель умножают на одну и ту же степень числа 10: 10, 100, 1000 и так далее. Это равносильно сокращению общей части в записи отношения, поэтому само частное остаётся прежним. Например, 15,75 : 0,35 = 1575 : 35.

Степень числа 10 выбирают по количеству цифр после запятой в делителе. Одна цифра означает умножение на 10, две цифры — на 100, три — на 1000. Причина проста: после такого числа переносов все цифры дробной части делителя переходят в целую часть. Поэтому 0,4 превращается в 4, а 0,08 — в 8.

При преобразовании запятую в делимом и делителе переносят вправо на одинаковое количество знаков, а затем делят на полученное натуральное число. Если в делимом справа не хватает цифр, дописывают нули: например, 4,2 при переносе на два знака записывают как 4,20, а затем получают 420. Нули справа после запятой не меняют значения числа, поэтому такое действие допустимо. В конце полезно умножить найденное частное на исходный делитель и сравнить результат с исходным делимым.

Деление на десятичную дробь

В таблице сначала найдите количество цифр после запятой в делителе. Затем выберите соответствующую степень числа 10 и перенесите запятые в обоих числах на одинаковое расстояние. После этого выполните обычное деление.

Главное — ориентироваться именно на делитель, потому что он должен стать натуральным. В делимом запятая переносится на столько же знаков, даже если после этого приходится дописывать нули.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 7,2 : 0,4.

Делитель 0,4 имеет одну цифру после запятой, поэтому достаточно умножить оба числа на 10. Это позволит заменить дробный делитель числом 4. После преобразования останется обычное деление.

1. Переносим запятые на один знак вправо: 7,2 : 0,4 = 72 : 4.
2. Делим 72 на 4 и получаем 18.
3. Проверяем: 18 · 0,4 = 7,2.

Ответ: 18. Ответ больше делимого, потому что делили на число, меньшее единицы.

Задача 2. Вычислить: 15,75 : 0,35.

В делителе 0,35 две цифры после запятой. Значит, запятые в обоих числах нужно перенести на два знака вправо, то есть умножить делимое и делитель на 100. После этого делитель станет натуральным числом 35.

1. Получаем 15,75 : 0,35 = 1575 : 35.
2. Делим 1575 на 35: 35 · 45 = 1575.
3. Следовательно, частное равно 45.

Ответ: 45. Проверка: 45 · 0,35 = 15,75, значит, преобразование выполнено верно.

Задача 3. Вычислить: 4,2 : 0,08.

Делитель имеет две цифры после запятой, поэтому запятые нужно перенести на два знака. В записи 4,2 для второго переноса не хватает цифры, но справа можно дописать ноль: 4,2 = 4,20. Затем деление выполняют как деление 420 на 8.

1. Дополняем делимое: 4,2 = 4,20.
2. Переносим запятые на два знака: 4,2 : 0,08 = 420 : 8.
3. Делим: 420 : 8 = 52,5.
4. Проверяем: 52,5 · 0,08 = 4,2.

Ответ: 52,5. Десятичная часть результата появляется потому, что 420 не делится на 8 нацело.

Типичные ошибки

Изменяют только делитель. Так поступают, когда забывают о главном свойстве частного и переносят запятую только в 0,4. Проверка простая: при умножении на 10 должны измениться и делимое, и делитель.

Переносят запятые на разное число знаков. Из-за этого делимое и делитель умножаются на разные числа, поэтому частное меняется. Посчитайте цифры после запятой в делителе и перенесите обе запятые ровно на это количество знаков.

Не дописывают нули к делимому. Ошибка появляется, когда после запятой недостаточно цифр для нужного переноса. Запишите делимое с нулем справа, например 4,2 как 4,20, и только затем переносите запятую.

Считают, что частное всегда меньше делимого. Это неверно при делении на дробь меньше единицы: например, 7,2 : 0,4 = 18. Проверьте ответ умножением и оцените, согласуется ли его размер с делителем.

Связь с другими темами

До изучения этого правила нужны разрядный состав десятичных дробей, умножение и деление на 10, 100, 1000, а также деление натуральных чисел. Эти знания помогают правильно переносить запятую и завершать вычисление.

Тема продолжает изучение основного свойства частного и действий с десятичными дробями. Она показывает, как преобразовать запись выражения, не изменив его значения.

Правило пригодится в текстовых задачах, при работе с величинами и преобразовании единиц измерения. Например, оно помогает находить количество отрезков заданной длины или расход вещества на одну единицу.

Что запомнить

• Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно превратить делитель в натуральное число.
• Делимое и делитель умножают на одну и ту же степень числа 10.
• Число переносов запятой определяется количеством цифр после запятой в делителе.
• Если цифр в делимом недостаточно, справа дописывают нули.
• После преобразования выполняют обычное деление на натуральное число.
• Результат можно проверить умножением частного на исходный делитель.