Как сравнивают многозначные числа и десятичные дроби

Определения и обозначения

Многозначное натуральное число — натуральное число, записанное двумя или более цифрами: 47, 305, 12 684. Каждая цифра занимает определённую позицию и показывает, сколько единиц соответствующего разряда есть в числе. Разрядная запись нужна, чтобы видеть состав числа и правильно сравнивать его с другими числами.

Разряд числа — место цифры в записи, связанное с единицами, десятками, сотнями, тысячами и следующими группами. Например, в числе 572 цифра 5 означает пять сотен, 7 — семь десятков, а 2 — две единицы. Старшие разряды важнее младших при сравнении: одна сотня больше любого количества десятков от 0 до 9.

Десятичная дробь имеет целую часть и дробную часть после запятой. Первая цифра после запятой показывает число десятых, вторая — сотых, третья — тысячных и так далее. Такая запись позволяет точно обозначать части единицы, например 3,45 — это три целых, четыре десятых и пять сотых.

Равные десятичные дроби — это разные записи одного и того же числа, например 2,7 и 2,70. Ноль справа после последнего десятичного знака не добавляет новой доли, потому что 7 десятых равны 70 сотым. Поэтому такие нули удобно использовать при сравнении дробей.

Как это устроено

Сравнение многозначных натуральных чисел начинают с количества цифр. Число с большим количеством цифр имеет более высокий старший разряд: например, в тысячах есть разряд тысяч, а в трёхзначном числе его нет. Поэтому 1000 больше любого трёхзначного числа.

Если цифр поровну, числа сравнивают слева направо, начиная со старшего разряда. Пока соответствующие цифры одинаковы, эти разряды не дают ответа. Первая различающаяся цифра важнее всех цифр правее неё, поэтому именно она определяет, какое число больше.

У десятичных дробей сначала сравнивают целые части, потому что целые единицы крупнее любых долей единицы. Если целые части равны, переходят к десятым, затем к сотым, тысячным и другим разрядам. На первом различии большая цифра означает большую дробь.

Когда после запятой записано разное число цифр, сравнение может быть неудобным. Тогда к короткой записи приписывают справа нули и получают одинаковое количество разрядов: 5,4 = 5,40. После этого цифры стоят на одинаковых местах, и их можно сравнивать слева направо.

Результат записывают знаками >, < или =. Острое окончание знака направлено к меньшему числу, а широкая сторона — к большему. Равенство используют тогда, когда два числа имеют одинаковое значение, даже если записаны по-разному.

Как сравнивают числа

Сначала выберите строку, соответствующую виду чисел, а затем выполните действия из второго столбца. Если этого недостаточно, переходите к третьему столбцу. Пример в последнем столбце показывает полный ход сравнения.

Разбор задач

Сравнить 684 и 702

Условие. Нужно определить, какое из двух трёхзначных натуральных чисел больше. Количество цифр одинаково, поэтому одного подсчёта цифр недостаточно. Сравним цифры, начиная со старшего разряда.

1. В обоих числах по три цифры, значит, сравниваем сотни.
2. В числе 684 — 6 сотен, а в числе 702 — 7 сотен.
3. Так как 6 меньше 7, всё число 684 меньше 702, независимо от цифр десятков и единиц.

Ответ: 684 < 702.

Сравнить 5,38 и 5,4

Условие. Целые части дробей одинаковы, но после запятой записано разное количество цифр. Уравняем число знаков и сравним одинаковые разряды.

1. Целые части равны: 5 = 5.
2. Запишем вторую дробь как 5,40, потому что 5,4 = 5,40.
3. Сравним десятые: 3 десятых меньше 4 десятых, поэтому 5,38 меньше 5,40.

Ответ: 5,38 < 5,4.

Расположить числа 12,06; 12,6; 12,60; 11,98 в порядке возрастания

Условие. Нужно расположить четыре десятичные дроби от меньшей к большей. Сначала сравним целые части, а затем дробные части у чисел с одинаковой целой частью.

1. У числа 11,98 целая часть 11, а у остальных чисел — 12, поэтому 11,98 будет первым.
2. Для удобства запишем 12,6 как 12,60. У дробей 12,06, 12,60 и 12,60 целые части равны.
3. Сравниваем сотые: 06 меньше 60, значит, 12,06 идёт следующим.
4. Записи 12,6 и 12,60 равны, поэтому они занимают одно и то же место.

Ответ: 11,98 < 12,06 < 12,6 = 12,60.

Типичные ошибки

Иногда многозначные числа сравнивают по последним цифрам или по сумме цифр. Так делать нельзя: результат определяет первая различающаяся цифра слева, то есть в старшем разряде. Проверьте себя, сравнив сначала количество цифр, а затем сотни, десятки и единицы.

Большая цифра в младшем разряде не всегда делает число больше. Например, 901 больше 899, хотя 1 меньше 9, потому что сначала сравнивают сотни: 9 и 8. Для проверки временно закройте младшие цифры и сравните старшие разряды.

Нельзя судить о десятичной дроби по количеству цифр после запятой. Дробь 2,5 имеет один знак, но равна 2,50 с двумя знаками. Приписывание нуля справа также не увеличивает дробь: ноль лишь показывает то же значение в более подробной записи.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел нужны знания о десятичной записи, разрядном составе и порядке натуральных чисел. Если эти представления понятны, легко определить место каждой цифры и выбрать правильный порядок действий.

Навык сравнения используется при упорядочивании дробей, округлении и работе с измерениями. Он помогает выбрать подходящий результат вычислений, например понять, какое измерение больше или какой ответ ближе к заданному значению.

Что запомнить

• В натуральных числах с большим количеством цифр число больше.
• При одинаковом количестве цифр натуральные числа сравнивают слева направо.
• Десятичные дроби сначала сравнивают по целым частям.
• При равных целых частях сравнивают цифры после запятой слева направо.
• Справа после запятой можно приписывать нули, не меняя значения дроби.
• Знаки сравнения: >, < и =.