"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Письменные способы умножения и деления помогают вычислять с большими числами и десятичными дробями, не теряя разряды и не путаясь в запятых. При умножении результат находят по частям, а при делении последовательно определяют цифры частного. Десятичные дроби можно умножать как натуральные числа, а при делении на дробь — преобразовать делитель в натуральное число. Главные опоры — разрядный состав, аккуратная запись и проверка обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение многозначных чисел — это вычисление произведения с помощью разрядного состава чисел: их представляют как сумму единиц, десятков, сотен и других разрядов и умножают по частям. Затем результаты складывают. Такой способ позволяет понять письменное умножение и проследить, откуда берётся каждая часть ответа.
Деление многозначных чисел — это поиск частного по разрядам делимого: сначала определяют его старшую часть, затем подбирают цифры частного и продолжают вычисление. Получившееся частное проверяют умножением на делитель. Проверка показывает, верно ли выполнено деление.
Умножение десятичных дробей — это умножение дробей как натуральных чисел с последующей расстановкой запятой. В произведении отделяют столько десятичных знаков, сколько их было в обоих множителях вместе. Правило помогает не менять значение результата при вычислениях без запятых.
Деление десятичной дроби на десятичную дробь можно заменить делением на натуральное число: запятые в делимом и делителе передвигают вправо на одинаковое число разрядов. Делитель должен стать натуральным. Так деление становится удобнее, а частное сохраняется.
Число можно разложить на слагаемые, соответствующие его разрядам: например, 324 = 300 + 20 + 4. Распределительное свойство умножения разрешает умножить каждый разряд отдельно, а потом сложить полученные произведения. Это работает потому, что сумма частей исходного числа равна самому числу, а умножение суммы на число равносильно сумме произведений. Разложение помогает проверить вычисление и понять письменную запись.
При письменном умножении каждую цифру второго множителя используют по очереди. Если цифра стоит в разряде десятков, её значение не просто число единиц: например, 6 в числе 26 означает 60, поэтому соответствующее неполное произведение сдвигают на один разряд. При умножении на цифру сотен сдвиг был бы на два разряда. В конце все неполные произведения складывают, поскольку они вместе учитывают вклад каждой цифры множителя.
Деление выполняют последовательно, потому что цифры частного отвечают за разные разряды. Сначала берут такую часть делимого слева, которая не меньше делителя, и определяют, сколько раз делитель в неё помещается. Произведение найденной цифры частного на делитель вычитают, а к остатку приписывают следующую цифру делимого. Остаток показывает, какая часть ещё не разделена; она должна быть меньше делителя, прежде чем переходить дальше.
Чтобы умножить десятичные дроби, сначала временно отбрасывают запятые и перемножают получившиеся натуральные числа. При этом каждый множитель фактически увеличивается в 10, 100 или большее число раз, поэтому в произведении нужно восстановить общий масштаб. Для этого справа отделяют столько десятичных знаков, сколько было в обоих множителях вместе. Если в произведении мало цифр, перед ними дописывают нули, чтобы запятая оказалась на нужном месте.
Деление на десятичную дробь заменяют делением на натуральное число, передвигая запятые в обоих числах одинаково. Это равносильно умножению и делимого, и делителя на одну и ту же степень десяти, поэтому их отношение не меняется. Сдвигают на столько разрядов, сколько нужно, чтобы в делителе не осталось цифр после запятой. После преобразования выполняют обычное письменное деление.
| Случай | Как выполнять | Что проверить |
|---|---|---|
| Умножение многозначных натуральных чисел | Умножить на цифры второго множителя по очереди, учитывая их разряды, затем сложить неполные произведения. | Правильно ли сдвинуты неполные произведения и разумен ли порядок величины ответа. |
| Деление многозначных натуральных чисел | Подбирать цифры частного по разрядам, каждый раз вычитать произведение и продолжать с остатком. | Каждая ли цифра делимого учтена, а остаток меньше делителя. |
| Умножение десятичных дробей | Умножить числа без запятых и отделить в произведении общее количество десятичных знаков множителей. | Число знаков после запятой и примерную величину произведения. |
| Деление десятичной дроби на натуральное число | Делить письменно; в частном поставить запятую, когда деление дошло до дробной части делимого. | Положение запятой и результат обратным умножением. |
| Деление на десятичную дробь | Одинаково сдвинуть запятые в делимом и делителе, затем разделить на натуральное число. | Одинаковое число разрядов сдвига в обоих числах. |
| Проверка деления | Умножить частное на делитель; при остатке прибавить остаток к произведению. | Совпало ли полученное число с делимым и меньше ли остаток делителя. |
Пользуйся таблицей как кратким планом действий: сначала найди нужный случай, затем выполни вычисление по инструкции. Последний столбец подсказывает, на каком шаге чаще всего возникает ошибка. При сомнении дополнительно оцени, какого порядка должен быть ответ.
Задача 1. Вычислите 324 × 26 письменным способом. Число 26 состоит из 20 и 6, поэтому результат удобно представить как сумму произведений 324 × 20 и 324 × 6. В письменной записи сначала умножаем на единицы, затем на десятки. Сдвиг второй строки показывает, что умножаем именно на 20, а не на 2.
Ответ: 8424. Разрядный сдвиг и оценка помогают убедиться, что учтены обе цифры множителя и результат имеет подходящий порядок.
Задача 2. Вычислите 936 : 24 и проверьте результат. Начинаем с двух первых цифр: 93 больше 24, значит первую цифру частного можно найти в разряде десятков. После вычитания остатка спускаем следующую цифру делимого. Так получим обе цифры частного по очереди.
Ответ: 39. Проверка обратным действием подтверждает, что частное найдено верно.
Задача 3. Вычислите 12,6 : 0,35. Делитель содержит две цифры после запятой, поэтому передвинем запятые в обоих числах на два разряда вправо. В делимом после такого сдвига нужно приписать ноль: 12,6 превращается в 1260. Получаем деление на натуральное число.
Ответ: 36. Для оценки можно заметить, что 0,35 примерно равно трети, а деление 12,6 на число около трети даёт результат около 36.
При умножении можно забыть сдвиг второго неполного произведения и записать результат умножения на десятки как результат умножения на единицы. Так происходит, если смотреть только на цифру и не учитывать её разряд. Перед сложением подпиши или мысленно обозначь, на единицы или десятки выполнено умножение. Проверка оценкой покажет, что ответ без разрядного сдвига может оказаться примерно в десять раз меньше нужного.
В произведении десятичных дробей иногда ставят запятую, считая знаки только в одном множителе. Причина — запятые временно убирают и забывают, что масштаб изменили оба числа. Отдельно сосчитай цифры после запятой в каждом множителе, сложи их и только после этого расставь запятую. Если знаков в произведении не хватает, допиши нули слева.
При делении на десятичную дробь можно сдвинуть запятую только в делителе, оставив делимое без изменений. Тогда деление уже не равносильно исходному: изменилось только одно число. Чтобы сохранить частное, сдвигай обе запятые одинаково и проверь, что делитель стал натуральным. Например, переход от 12,6 : 0,35 к 1260 : 35 требует сдвига на два разряда в обоих числах.
Если очередная часть делимого меньше делителя, иногда пропускают соответствующий разряд частного и забывают записать ноль. Из-за этого цифры частного сдвигаются, и его значение меняется. Проверяй, какой разряд сейчас вычисляется, и при необходимости ставь ноль перед тем, как снести следующую цифру. В конце умножь частное на делитель: неверный разряд обычно обнаружится при проверке.
Для этих вычислений нужны знания разрядного состава натуральных чисел, таблицы умножения, свойств умножения и деления, а также порядка действий. Если уверенно представлять число в виде единиц, десятков и сотен, проще понять сдвиг неполных произведений и ход деления. Навыки пригодятся при расчётах с величинами, стоимости покупок и измерений. Они также используются при работе с отношениями и процентами, где важно точно умножать и делить десятичные числа.
Почему при письменном умножении неполные произведения записывают со сдвигом?
Каждая цифра множителя обозначает единицы, десятки, сотни и так далее. Поэтому произведение на десятки записывают со сдвигом на один разряд, а на сотни — на два. Так учитывается настоящее значение цифры.
Как определить, куда поставить запятую в произведении десятичных дробей?
Сначала умножь числа, временно не обращая внимания на запятые. Затем сосчитай все цифры после запятых в обоих множителях и отдели столько же цифр справа в произведении. Если цифр не хватает, допиши слева нули.
Почему при делении на десятичную дробь можно сдвинуть запятые в обоих числах?
Умножение делимого и делителя на одно и то же число не меняет частное. Поэтому запятые можно передвинуть вправо на одинаковое число разрядов, чтобы делитель стал натуральным числом.
Что делать, если при делении очередная часть делимого меньше делителя?
В этой позиции частного записывают ноль и рассматривают следующую цифру делимого. Ноль сохраняет разрядное значение частного, поэтому пропускать его нельзя.
Как проверить результат деления?
Умножь частное на делитель: при делении без остатка должно получиться делимое. Если был остаток, прибавь его к произведению. Остаток должен быть меньше делителя.
Как умножают и делят многозначные числа и десятичные дроби
