"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Многозначные числа и десятичные дроби вычисляют по правилам разрядов: цифры одного порядка складывают или вычитают вместе, а при умножении и делении последовательно учитывают разрядные сдвиги. Эти способы помогают выполнять вычисления точно и проверять результат. Главное — правильно записать числа столбиком, соблюдать порядок действий и внимательно обращаться с десятичной запятой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, в записи которого используется несколько разрядов. Например, в числе 4 582 цифра 4 означает четыре тысячи, 5 — пять сотен, 8 — восемь десятков, а 2 — две единицы. Поэтому цифра сама по себе не сообщает всё значение: его задаёт ещё и место в записи.
Разряд — позиция цифры в записи числа, определяющая её значение. Справа налево идут единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и следующие разряды. Разряды нужны, чтобы сравнивать числа и складывать либо вычитать только одинаковые по значению части.
Разрядная запись показывает число как сумму разрядных слагаемых: например, 3 407 = 3 000 + 400 + 7. При письменном вычислении цифры располагают столбиком так, чтобы единицы оказались под единицами, десятки под десятками. Такая запись не даёт перепутать значения цифр.
Десятичная дробь — число с целой и дробной частями, разделёнными запятой. В числе 6,284 цифры после запятой показывают 2 десятых, 8 сотых и 4 тысячных. Понимание этих разрядов помогает правильно складывать дроби и ставить запятую в результате умножения или деления.
При сложении и вычитании многозначные числа записывают разряд под разрядом, потому что складывать можно только величины одного порядка: единицы с единицами, сотни с сотнями. Для десятичных дробей по той же причине совмещают запятые: тогда совпадают и целые разряды, и дробные. Если в одной дроби разрядов меньше, в конце записи можно добавить нули — значение числа не изменится.
Складывают и вычитают справа налево, начиная с единиц, чтобы сразу учитывать переход между разрядами. Если сумма в разряде равна десяти или больше, в этом разряде записывают последнюю цифру, а одну единицу переносят в следующий разряд слева. При вычитании, когда верхней цифры не хватает, занимают единицу у соседнего разряда: она превращается в десять единиц текущего разряда.
При умножении многозначных чисел каждую цифру второго множителя умножают на первый множитель отдельно, а затем складывают частичные произведения. Цифра десятков означает не просто количество единиц, а количество десятков, поэтому соответствующее произведение сдвигают на один разряд влево; для сотен сдвиг будет на два разряда. Сдвиг можно обозначить нулями в конце строки, но при сложении важно сохранять правильное выравнивание разрядов.
При письменном делении сначала выбирают слева такую часть делимого, которую можно разделить на делитель, и находят очередную цифру частного. Её умножают на делитель, полученное произведение вычитают, а к остатку сносят следующую цифру делимого. Так находят цифры частного по очереди; если в некотором разряде делитель не помещается, в частном записывают ноль, чтобы не потерять этот разряд.
Умножая десятичные дроби, сначала временно убирают запятые: это позволяет выполнить обычное умножение целых чисел без путаницы. Затем справа в произведении отсчитывают столько цифр, сколько знаков после запятой было в обоих множителях вместе, поскольку каждый такой знак соответствует делению на 10. При делении запятую в делимом и делителе передвигают вправо на одинаковое число знаков, пока делитель не станет целым: значение частного при этом не меняется.
| Действие | Как расположить числа | Порядок выполнения | Работа с десятичной запятой | Проверка результата |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | Разряды один под другим; запятые совпадают. | Складывать справа налево, перенося единицу в следующий разряд. | Запятую в сумме поставить под запятыми слагаемых. | Вычесть одно слагаемое из суммы и получить другое. |
| Вычитание | Разряды один под другим; запятые совпадают. | Вычитать справа налево, при нехватке занимая единицу слева. | Запятую в разности поставить под запятыми уменьшаемого и вычитаемого. | Сложить разность и вычитаемое: получится уменьшаемое. |
| Умножение | Множители записать так, чтобы цифры можно было умножать по очереди. | Найти частичные произведения и сложить их, учитывая сдвиг разрядов. | В произведении дробей отделить справа общее число знаков после запятой в множителях. | Разделить произведение на один множитель. |
| Деление | Делимое записать под знаком деления, делитель — снаружи. | Находить цифры частного, вычитать произведения и сносить следующие цифры. | Чтобы делитель стал целым, перенести запятые в обоих числах одинаково. | Умножить частное на делитель; при остатке прибавить его. |
Используй таблицу как короткую памятку перед письменным вычислением: сначала выбери строку нужного действия, затем проверь расположение чисел и порядок шагов. Отдельно сверь правило для запятой и после вычисления выполни обратную проверку. Это особенно полезно, когда в одном выражении встречаются разные действия.
Запишем числа друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Во втором числе нет разряда сотен тысяч, поэтому его цифры выравниваем по правому краю. Начинаем сложение с единиц.
В разряде единиц получаем 8 + 2 = 10: пишем 0 и переносим 1 десяток. В десятках считаем 0 + 7 + 1 = 8, в сотнях — 5 + 6 = 11: пишем 1 и переносим 1 тысячу. В тысячах выходит 7 + 9 + 1 = 17, значит, пишем 7 и переносим 1 десяток тысяч.
В десятках тысяч получаем 0 + 4 + 1 = 5, а в сотнях тысяч остаётся 3. Собираем цифры ответа слева направо: 357 180. Проверка вычитанием подтверждает результат: 357 180 − 49 672 = 307 508.
Ответ: 357 180.
Сначала умножим числа без запятых: 3 608 · 47. В первом множителе после запятой две цифры, во втором — одна, всего три дробных знака. Поэтому в ответе нужно будет отделить справа три цифры.
Вычисляем частичные произведения: 3 608 · 7 = 25 256, а 3 608 · 40 = 144 320. Складываем их и получаем 169 576. Сдвиг второго произведения на разряд отражает умножение именно на 40, а не на 4.
Отделяем справа три цифры: 169,576. Проверим оценкой: 36,08 близко к 36, а 4,7 близко к 5, значит, результат должен быть около 180. Полученное число этому соответствует.
Ответ: 169,576.
Соблюдаем порядок действий: сначала вычисляем разность в скобках. Запишем 18 450,60 − 7 895,75, совместив запятые и дописав ноль в конце первого числа. Вычитаем справа налево с заимствованием и получаем 10 554,85.
Теперь делим 10 554,85 на 2,5. Чтобы делитель стал целым, переносим запятую в обоих числах на один знак вправо: 105 548,5 : 25. Частное равно 4 221,94, поскольку 4 221,94 · 2,5 = 10 554,85.
Остаётся сложить 4 221,94 и 136,08, совместив запятые. Получаем 4 358,02. Оценка помогает проверить порядок величины: разность около 10 555, деление на 2,5 даёт около 4 222, а прибавление примерно 136 приводит к числу около 4 358.
Ответ: 4 358,02.
Если при сложении или вычитании цифры записаны не по разрядам, результат может быть неверным, хотя отдельные действия выполнены правильно. Так происходит, когда числа выравнивают по левому краю или не учитывают значение каждой позиции. Проверь себя: единицы должны стоять под единицами, десятки — под десятками; разрядную запись можно использовать как дополнительную проверку.
При сложении или вычитании десятичных дробей запятые тоже должны совпадать. Если этого не сделать, цифры разных разрядов окажутся друг под другом, например десятые — под сотыми. Проверь столбик до вычисления и при необходимости допиши справа нули: 2,5 можно записать как 2,50.
При умножении десятичных дробей ошибаются, если считают знаки после запятой только в одном множителе или неверно учитывают нули. Нужно сложить количество дробных знаков в обоих множителях, а в произведении отделить именно столько цифр справа. Проверь себя оценкой: ответ должен быть сопоставим с примерным произведением исходных чисел.
При письменном делении можно снести не ту цифру, пропустить ноль в частном или передвинуть запятую только в одном числе. Эти ошибки меняют разряд частного или само значение деления. Проверяй каждый шаг умножением цифры частного на делитель, следи за последовательностью сноса, а запятую передвигай одинаково в делимом и делителе.
Для письменных вычислений нужны знания о разрядном составе и сравнении многозначных чисел, а также умение читать и записывать десятичные дроби. Эти правила применяются в уравнениях и задачах на проценты, стоимость, расстояние и время: там важно правильно выполнять действия с данными числами. Те же алгоритмы пригодятся при изучении рациональных чисел, работе с формулами и решении текстовых задач.
Почему при сложении десятичных дробей запятые должны находиться одна под другой?
Так друг под другом оказываются одинаковые разряды: единицы, десятые, сотые и так далее. Если запятые сдвинуть, можно сложить, например, десятые с сотыми и получить неверное число.
Куда переносится единица после сложения десяти цифр?
Единицу переносят в соседний разряд слева, то есть в разряд, который в десять раз крупнее. Например, 8 единиц + 7 единиц = 15 единиц: записывают 5, а 1 десяток прибавляют к десяткам.
Почему при умножении многозначных чисел частичные произведения сдвигают?
Каждая цифра второго множителя обозначает не просто число, а определённое количество единиц своего разряда. Поэтому при умножении на десятки результат записывают со сдвигом на один разряд, на сотни — на два.
Как определить, где поставить запятую в произведении десятичных дробей?
Сначала перемножают числа, временно не учитывая запятые. Затем в произведении отделяют справа столько цифр, сколько знаков после запятой было суммарно в обоих множителях; если цифр не хватает, слева дописывают нули.
Что делать, если при делении цифр исходного числа не хватает?
Если деление продолжается, после запятой в частном можно приписать ноль к делимому и продолжить вычисление. Если не хватает цифры в очередном разряде целой части, в частном записывают 0, а затем сносят следующую цифру.
Как выполняют действия с многозначными числами и десятичными дробями
