"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Поучительная задача рассказывает о математической ситуации через историю или жизненный пример. Чтобы её решить, нужно отделить известные сведения от вопроса, выразить связи между величинами с помощью действий или уравнения и выполнить вычисления. Самое главное — выбирать способ решения по смыслу сюжета, а затем проверить, подходит ли результат к условию. Так обычный рассказ превращается в математическую модель, которая помогает найти ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поучительная задача — сюжетная задача, в которой математическая ситуация представлена через рассказ или жизненный пример. Например, вместо записи «12 + 7» может быть сказано, что герой имел 12 монет и получил ещё 7. Рассказ помогает представить, что происходит с величинами. Поэтому решающий должен не только вычислить, но и понять сюжет.
Условие задачи — сведения о величинах и связи между ними, которые даны в тексте. В истории про монеты к условию относятся начальное количество и число полученных монет. Условие нужно отделять от вопроса, чтобы не перепутать то, что уже известно, с тем, что предстоит найти. Не каждая подробность рассказа обязательно понадобится для решения.
Вопрос задачи — требование найти неизвестную величину. Он может спрашивать, сколько предметов стало, каково расстояние или через сколько времени произойдёт событие. Вопрос подсказывает, каким должен быть результат и в каких единицах его выразить. Если вычислено число, которое не отвечает на вопрос, решение ещё не завершено.
Решение задачи — последовательность рассуждений и вычислений, которая ведёт от условия к ответу. В ходе решения данные связывают действиями или уравнением, а затем находят неизвестное. Проверка позволяет обнаружить ошибку и выяснить, подходит ли результат сюжету. Без неё правильные вычисления могут оказаться ответом на другой вопрос.
Прочитай задачу целиком, чтобы представить описанную ситуацию, а затем перечитай её и отметь известные величины. Отдельно сформулируй, что требуется найти: иногда вопрос относится не к каждому числу в тексте, а к их сочетанию. Затем выясни, какие связи между величинами прямо названы или следуют из сюжета. Так ты не начнёшь считать раньше, чем поймёшь, что именно нужно вычислять.
Рассказ удобнее решать, когда его отношения переведены на язык математики. Неизвестную величину обозначают, например, буквой x, а остальные выражают через неё или записывают известными числами. Если одна часть на 10 больше другой, то при меньшей части x большая равна x + 10. Такие записи делают рассуждение ясным и помогают заметить, какое равенство связывает данные.
Действие выбирают по смыслу происходящего, а не только по словам «всего», «осталось» или «больше». Одинаковое слово в разных ситуациях может описывать разные отношения, поэтому сначала представь изменения величин. Если два путника идут навстречу, расстояние между ними уменьшается, а за час они вместе проходят сумму своих путей. Если же предметы добавляют к имеющимся, нужно выяснить, как изменилось общее количество.
После выбора способа решения выполни вычисления в удобном порядке и следи за единицами измерения. Проверить результат можно подстановкой: подставь найденное число в составленное равенство или в исходные связи и проверь, что они выполняются. Иногда удобнее рассуждать обратно: из ответа восстановить начальные данные и сравнить их с условием. Такая проверка помогает найти ошибку не только в счёте, но и в модели.
В конце сформулируй ответ словами так, чтобы он прямо отвечал на вопрос. Если спрашивали время встречи, запиши время, а не только расстояние, которое прошли путники. Сверь единицы измерения и проверь, не противоречит ли результат рассказу: например, количество предметов не может быть отрицательным. Тогда решение становится понятным другому читателю и завершает задачу, а не просто предъявляет вычисления.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Прочитать условие | Представить описанную ситуацию и перечитать текст. | Понять, о каких величинах идёт речь. |
| Выделить данные и вопрос | Записать известное и отдельно сформулировать неизвестное. | Не смешивать данные с требованием задачи. |
| Составить математическую модель | Обозначить неизвестное и записать связи выражением или уравнением. | Передать смысл сюжета, не добавляя несуществующих связей. |
| Выполнить вычисления | Решить составленное выражение или уравнение. | Следить за порядком действий и единицами. |
| Проверить результат | Подставить ответ в условие или рассуждать обратно. | Проверить и вычисления, и смысл ответа. |
| Записать ответ | Ответить на вопрос полной фразой. | Указать нужную величину и её единицу измерения. |
Пользуйся таблицей по порядку: каждый следующий этап опирается на предыдущий. Если при проверке ответ не подходит к условию, вернись к модели и проверь, верно ли ты выразил связи. Не пропускай запись ответа: она показывает, что именно найдено.
Задача 1. В рассказе говорится, что у героя было 12 монет, а затем он получил ещё 7. Сколько монет стало у героя? Сначала выясним, что изменилось: к уже имевшимся монетам добавились новые. Значит, нужно найти общее количество после добавления.
Ответ: у героя стало 19 монет. Единица измерения сохранена, а ответ прямо сообщает, что именно требовалось узнать. Здесь рассказ переводится в простое сложение, но выбор действия всё равно основан на смысле ситуации.
Задача 2. Два путника вышли одновременно навстречу друг другу из селений, расстояние между которыми 30 км. Скорость одного — 4 км/ч, другого — 6 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Поскольку путники сближаются, за каждый час расстояние между ними уменьшается на сумму пройденных ими расстояний. Поэтому сначала найдём их общую скорость сближения.
Ответ: путники встретятся через 3 часа. Проверка подтверждает и вычисление, и выбранную модель движения навстречу. Если бы путники двигались в одном направлении, скорость сближения пришлось бы определять иначе.
Задача 3. Число разделили на две части: одна часть на 10 больше другой, а сумма частей равна 50. Найти обе части. Удобно начать с меньшей части: тогда большая выражается через неё, и условие о сумме даёт уравнение. Такой способ помогает не угадывать числа, а последовательно использовать обе связи из текста.
Ответ: части равны 20 и 30. Обе связи из условия выполнены, поэтому проверка подтверждает решение. Если обозначить большую часть, уравнение тоже возможно, но выбранный способ делает выражение второй части особенно простым.
Начинать вычисления, не выяснив, что именно требуется найти, — значит рисковать получить число, которое не отвечает на вопрос. Так случается, когда решающий замечает знакомые числа и сразу выбирает действие. Перед вычислениями сформулируй вопрос своими словами и назови неизвестную величину. После решения сравни ответ с вопросом: совпадает ли то, что найдено, с тем, что просили?
Не каждое число из рассказа обязательно нужно для решения, хотя иногда кажется, что раз оно дано, его надо использовать. Лишние сведения отвлекают и могут привести к ненужным действиям. Проверь, какую связь задаёт каждое число и помогает ли она найти неизвестное. Если число не участвует ни в одной нужной связи, возможно, для ответа оно не требуется.
Можно неверно перевести отношение из текста в выражение: например, спутать «на 10 больше» и «в 10 раз больше». В первом случае к величине прибавляют 10, а во втором умножают её на 10. Ошибка возникает, если ориентироваться на слово «больше», не уточняя смысл сравнения. Перескажи отношение своими словами и проверь на простых числах, соответствует ли ему запись.
Записывать ответ без проверки и единиц измерения — значит оставлять решение неполным. Число может быть вычислено верно, но противоречить условию или обозначать не ту величину. Подставь результат в исходные связи и проверь, что он правдоподобен для сюжета. Затем добавь нужную единицу измерения и сформулируй ответ так, чтобы он отвечал на вопрос целиком.
Для решения поучительных задач нужны навыки арифметических действий, чтения условия и различения известных и неизвестных величин. Они опираются на умение составлять выражения и уравнения: с их помощью сюжетные связи становятся точными математическими записями. Такой способ применяют в задачах на движение, покупки, работу и отношения величин. Навык математического моделирования пригодится при изучении уравнений, процентов и прикладных задач.
Что называют поучительной задачей?
Это задача, в которой математическая ситуация изложена через рассказ или пример из жизни. В отличие от записи, состоящей только из формул, она требует сначала понять сюжет и определить связи между величинами.
Как понять, какие сведения в условии важны?
Сначала выясни, что требуется найти, а затем сопоставь вопрос с данными условия. Важны те сведения, которые помогают установить нужные связи; детали, не влияющие на решение, можно не использовать.
Как перевести рассказ задачи в уравнение?
Обозначь неизвестную величину буквой и вырази через неё другие величины по условиям сюжета. Затем запиши уравнением связь, которая должна выполняться, например равенство суммы частей общему количеству.
Как выбрать действие, если в тексте есть лишние сведения?
Не выбирай действие только по отдельным словам — сначала представь, что происходит, и определи связь между величинами. Используй данные, которые нужны для ответа, а лишние сведения не включай в вычисления.
Зачем проверять ответ после вычислений?
Проверка показывает, не допущена ли ошибка в вычислениях или в составлении модели. Кроме того, она помогает убедиться, что найденная величина отвечает на вопрос и согласуется с сюжетом.
Поучительные задачи
