Доли (начало)

Определения и обозначения

Целое — предмет или величина, рассматриваемые полностью и принимаемые за единицу. Например, целым может быть целый пирог, полоска или число 12. Это понятие нужно, чтобы понимать, от чего именно берут часть и с чем её сравнивают.

Доля — одна из равных частей, на которые разделили целое. Если пирог разделён на четыре одинаковых куска, один такой кусок — доля пирога. Понятие помогает точно говорить о части целого, а не просто о любом отрезанном или выделенном фрагменте.

Равные части — части одного целого, имеющие одинаковую величину или площадь. У полоски одинаковые части должны иметь одну длину, а у фигуры — одну площадь. Равенство частей необходимо, чтобы каждую из них можно было считать одной и той же долей.

Запись доли имеет вид 1/n, где n показывает, на сколько равных частей разделили целое. Например, 1/3 читают «одна треть»: целое поделили на три равные части и взяли одну. Такая запись позволяет обозначить долю кратко и понять, как она получена.

Как это устроено

Целое делят на доли только тогда, когда все части равны, потому что доля должна выражать одинаковую часть каждого раза. Если разрезать торт на куски разного размера, один кусок нельзя считать равным другому. Поэтому название вроде «одна четверть» подходит только в том случае, если торт разделили на четыре равные части.

Название одной доли зависит от количества частей, на которые разделили целое. При делении на две равные части получают половины, на три — трети, на четыре — четверти. Для пяти частей говорят «одна пятая», а для десяти — «одна десятая»: число частей определяет название доли.

В записи 1/n число n показывает общее количество равных частей, а единица означает одну выбранную часть. Например, в 1/5 целое разделено на пять частей, но рассматривают только одну из них. Если взять две части, это уже будут две доли, а не одна доля 1/5.

Чтобы найти долю предмета или величины, целое делят на число равных частей. Например, при поиске одной четверти от 20 сантиметров нужно вычислить 20 : 4. Результат показывает размер одной части, если всю длину разделить поровну на четыре части.

Чем больше равных частей получается при делении одного и того же целого, тем меньше каждая часть. Это происходит потому, что неизменную величину приходится распределять между большим количеством частей. Например, одна из десяти частей целого меньше одной из двух частей: 1/10 меньше 1/2.

Доли целого

В таблице число частей связано с названием и записью одной доли. Сначала найдите количество частей, затем прочитайте название и запись в этой строке. В последнем столбце объяснено, что именно произошло с целым.

Разбор задач

Прямоугольник и названия долей

Разделим прямоугольник на 2, 3 и 4 равные части и запишем название и обозначение одной части в каждом случае. Важно не только провести линии, но и сделать части одинаковыми по площади. Тогда каждую из них можно назвать одной долей соответствующего целого.

1. Для первого прямоугольника проведём линию так, чтобы получились две равные части. Одна часть называется половиной и записывается 1/2.
2. Второй прямоугольник разделим на три равные части. Одна часть — треть, её запись — 1/3.
3. Третий прямоугольник разделим на четыре равные части. Одна часть — четверть, её запись — 1/4.

Ответ: при делении на 2 части получаем половину, 1/2; на 3 части — треть, 1/3; на 4 части — четверть, 1/4. Во всех случаях числитель 1 указывает на одну взятую часть. Число под чертой совпадает с количеством равных частей.

Одна треть карандашей

В коробке 12 одинаковых карандашей. Найдём одну треть всех карандашей, то есть определим, сколько карандашей приходится на одну из трёх равных групп. Карандаши можно разложить по группам поровну, поскольку их количество делится на 3 без остатка.

1. Название «одна треть» означает, что все 12 карандашей нужно разделить на три равные группы.
2. Выполним деление: 12 : 3 = 4. В каждой группе окажется по четыре карандаша.
3. Одна треть — это одна такая группа, поэтому берём 4 карандаша, а не все три группы.

Ответ: одна треть от 12 карандашей — 4 карандаша. Проверить результат можно умножением: три группы по 4 карандаша составляют 12. Значит, целое действительно разделено на три равные части.

Доля длины полоски

Полоска длиной 20 см разделена на 5 равных частей. Нужно узнать длину одной доли и указать, какую часть всей полоски она составляет. Сначала найдём размер одной части, а затем свяжем его с количеством частей в целом.

1. Поскольку частей пять и они равные, разделим всю длину на 5: 20 : 5 = 4 см.
2. Одна доля имеет длину 4 см. Пять таких отрезков по 4 см вместе дают исходные 20 см.
3. Одна из пяти равных частей записывается как 1/5, независимо от того, измеряется полоска в сантиметрах или другой единице.

Ответ: длина одной доли — 4 см, это 1/5 всей полоски. Отношение 4 см к 20 см подтверждает результат: длина части в пять раз меньше длины целого. Значит, полученная доля соответствует делению на пять равных частей.

Типичные ошибки

Называть долей любую часть фигуры — ошибка, потому что доли должны быть равными. Её допускают, когда обращают внимание только на то, что фигура разделена на куски. Проверьте части по величине или площади: если они различаются, говорить об одинаковых долях нельзя.

Иногда в знаменателе указывают число взятых частей. Так происходит, если путают количество частей в целом с количеством выбранных частей. В записи одной доли знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое; для проверки пересчитайте все части, а не только взятые.

При нахождении доли иногда делят целое не на то число, которое названо. Например, для одной трети делят на два, потому что запомнили знакомое действие, но не связали его с названием. Перед вычислением спросите себя, на сколько равных групп нужно разделить целое, и сверьте число делителя с названием доли.

Можно ошибочно решить, что 1/10 больше 1/2, потому что 10 больше 2. Здесь сравнивают не сами числа в знаменателях, а размеры частей одного целого: чем больше частей, тем меньше каждая. Представьте одинаковый предмет, разделённый сначала на две, а затем на десять равных частей, — одна десятая окажется меньше половины.

Связь с другими темами

До изучения долей полезно понимать смысл деления и уметь делить предметы или величины на равные части. Эти знания понадобятся, чтобы находить размер одной доли и проверять, что целое разделено поровну. Доли служат основой для изучения обыкновенных дробей, сравнения дробей и нахождения части числа.

Доли связаны и с измерением: ими выражают части длины, площади, массы и других величин, которые меньше целого. Например, полоску можно разделить на равные доли и измерить одну из них в сантиметрах. Так запись доли помогает описывать не только предметы, но и результаты измерений.

Что запомнить

• Доля — это одна равная часть целого.
• Целое при делении на доли должно быть разделено на равные части.
• Половина — это одна из двух равных частей целого.
• Треть — это одна из трёх равных частей целого.
• В записи 1/n число n показывает, на сколько равных частей разделили целое.
• Чтобы найти одну долю величины, нужно разделить величину на число равных частей.
• У одного и того же целого десятая доля меньше половины.