"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Кратное сравнение показывает, во сколько раз одна величина больше или меньше другой. Для этого сравнивают их числовые значения делением, предварительно выразив величины в одинаковых единицах. Частное сообщает число раз: например, отношение 3 к 1 равно 3, значит, первая величина в три раза больше второй. Такой способ помогает решать задачи и отличать вопрос «во сколько раз?» от вопроса «на сколько единиц?»
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кратное сравнение величин — сравнение, показывающее, во сколько раз одна величина больше или меньше другой. Оно помогает оценить не разницу в единицах, а соотношение размеров. Так можно сравнить длины, массы, время и другие величины.
Отношение величин — частное от деления их числовых значений, выраженных в одинаковых единицах. Одинаковая единица нужна, чтобы числа действительно описывали сравниваемые величины на одной шкале. Отношение записывают, например, как 18 : 6.
Частное — результат деления, который при кратном сравнении показывает число раз. Если частное равно 3, это значит, что делимое содержит делитель три раза. По частному формулируют ответ на вопрос «во сколько раз?».
Коэффициент кратности — число, показывающее, во сколько раз одна величина содержится в другой. Например, коэффициент 4 означает, что большая величина составлена из четырёх таких меньших величин. Он позволяет кратко описать связь между величинами.
Сначала сравниваемые величины переводят в одинаковые единицы измерения. Числа 2 и 50 сами по себе не показывают, какая длина больше, если за ними стоят разные единицы: 2 м и 50 см. После перевода получаем 200 см и 50 см, и только тогда деление сравнивает именно длины, а не разные способы их записи.
Чтобы узнать, во сколько раз величина A больше величины B, находят частное A и B: большее значение делят на меньшее. Деление показывает, сколько раз меньшая величина укладывается в большей. Например, если большая длина равна 12 см, а меньшая — 4 см, то 12 : 4 = 3, значит, первая длина в три раза больше второй.
Если отношение равно числу k, одна величина содержится в другой k раз. При целом k это удобно представить как повторение меньшей величины: три отрезка по 4 см составляют 12 см. Если k не целое, отношение всё равно показывает точное соотношение, хотя целое число повторений здесь представить нельзя. Поэтому коэффициент кратности может быть и дробным.
При сравнении меньшей величины с большей частное меньшего на большее оказывается меньше единицы. Например, 4 : 12 = ⅓. Но на вопрос «во сколько раз меньше?» обычно отвечают числом больше 1: большая величина содержит меньшую три раза, значит, меньшая в три раза меньше. Для этого рассматривают обратное отношение: 12 : 4 = 3.
Кратное сравнение отличается от разностного тем, что отвечает на вопрос «во сколько раз?», а не «на сколько единиц?». Для первой задачи значения делят, для второй — вычитают. Перевод обеих величин в другую, но одинаковую единицу не меняет их отношения: если каждое значение умножить на одно и то же число, частное останется прежним. Так, 18 : 6 и 180 : 60 дают один результат.
| Ситуация | Действие | Результат | Смысл результата |
|---|---|---|---|
| Величина A больше величины B | A разделить на B | Число больше 1 | A больше B в полученное число раз |
| Величина A меньше величины B | B разделить на A | Число больше 1 | A меньше B в полученное число раз |
| Величины равны | A разделить на B или B разделить на A | 1 | Величины равны |
| Сравниваются величины в разных единицах | Сначала перевести их в одинаковые единицы | Отношение числовых значений | Результат кратного сравнения |
Найди в таблице ситуацию, которая соответствует условию, и проверь единицы измерения. Затем выполни указанное действие и прочитай смысл результата в последнем столбце. Если значения равны, частное будет равно 1.
Нужно выяснить, сколько раз длина 6 см помещается в длине 18 см. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому их можно делить без перевода единиц. Поскольку первый отрезок длиннее, делим его длину на длину второго.
Ответ: первый отрезок длиннее второго в 3 раза. Вычитание 18 − 6 здесь не подходит: оно показало бы разницу длин в сантиметрах, а не число раз.
В условии значения записаны в разных единицах, и сразу делить их числовые записи нельзя. Переведём первое значение в сантиметры: в одном метре 100 см, значит, 2 м — это 200 см. Теперь обе длины выражены в сантиметрах, и можно определить, сколько раз 80 см содержится в первом значении.
Ответ: первое значение больше второго в 3 раза. Перевод единиц не меняет длину, а лишь записывает её числом, удобным для сравнения.
Сначала выясним, какое расстояние больше: 3,6 км больше 450 м, но для деления их нужно выразить в одинаковых единицах. Переведём километры в метры: один километр равен 1000 м. После перевода отношение покажет, сколько раз короткое расстояние укладывается в длинном.
Ответ: расстояние между пунктами в 8 раз больше длины маршрута до ближайшего объекта. Если задать вопрос наоборот, длина маршрута будет в 8 раз меньше расстояния между пунктами.
Делить значения, не проверив единицы измерения. Так происходит, когда записывают, например, метры и сантиметры как числа и сразу выполняют деление. Числа при этом относятся к разным единицам и не дают отношения величин. Перед вычислением переведи обе величины в сантиметры, метры или другую общую единицу.
Путать кратное и разностное сравнение. Иногда вместо деления вычитают значения или наоборот, потому что не обращают внимания на формулировку задачи. Вопрос «во сколько раз?» требует деления, а «на сколько единиц?» — вычитания. Проверь, выражен ли ответ числом раз или единицами измерения.
Неверно понимать слова «во сколько раз меньше». Деление меньшего значения на большее даёт дробь меньше 1, но привычный ответ на такой вопрос показывает, сколько раз большая величина содержит меньшую. Поэтому делят большую величину на меньшую, а результат формулируют со стороны меньшей. Проверка: если получилось число 3, меньшая величина должна укладываться в большую три раза.
Записать только частное и не пояснить его смысл. Число без ответа может быть непонятно читателю: неизвестно, какая величина больше и что сравнивали. К такой ошибке приводит пропуск последнего шага после вычисления. Допиши формулировку «в столько-то раз» и назови сравниваемые величины.
Для кратного сравнения нужны навыки измерения и перевода величин в одинаковые единицы. Также необходимо уметь делить натуральные и дробные числа, поскольку отношение может быть нецелым. Эти умения помогают подготовиться к задачам, где величины сравнивают через их отношение.
Кратное сравнение встречается в задачах на скорость, масштаб, пропорции и проценты. В каждой из них важно понять, какие величины сопоставляются и что означает полученное отношение. Вместе с разностным сравнением эта тема помогает выбрать верное действие по вопросу задачи: деление или вычитание.
Почему перед делением нужно перевести величины в одинаковые единицы?
Делят числовые значения величин, записанных в одной и той же единице. Иначе сравниваются не сами величины, а числа, которые зависят от выбранных единиц. Например, сначала нужно перевести метры в сантиметры или наоборот.
Чем вопрос «во сколько раз больше?» отличается от вопроса «на сколько больше?»
«Во сколько раз?» — вопрос о кратном сравнении, поэтому нужно делить большее значение на меньшее. «На сколько?» — вопрос о разностном сравнении: из большего значения вычитают меньшее. Ответы показывают разные вещи: число раз и количество единиц.
Как правильно решить задачу, в которой сказано «во сколько раз меньше»?
Сначала приведи величины к одинаковым единицам. Затем раздели большую величину на меньшую: это покажет, во сколько раз меньшая величина меньше большей. Деление меньшего на большее даст отношение меньше единицы, а не число раз в привычной формулировке.
Что означает отношение, равное 1?
Оно означает, что сравниваемые величины равны. При делении равных ненулевых числовых значений получается 1, потому что каждое из них содержится в другом один раз.
Почему при смене единиц измерения результат кратного сравнения не меняется?
При переходе к другой единице оба значения умножаются или делятся на одно и то же число. Их отношение остаётся прежним: например, отношение 18 см к 6 см такое же, как отношение 180 мм к 60 мм.
Кратное сравнение величин
