§ 3. Уравнения.

Определения и обозначения

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное, например x + 3 = 8. В равенстве с известными числами можно сразу вычислить обе части и проверить, совпадают ли они, а в уравнении значение одной величины пока неизвестно. Поэтому уравнение не просто проверяют: сначала ищут, при каком значении неизвестного равенство станет верным.

Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, для x + 3 = 8 число 5 является корнем: после подстановки получаем 5 + 3 = 8, то есть 8 = 8. Проверка показывает, подходит ли найденное число, а не только похоже ли оно на ответ.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Например, у уравнения x + 3 = 8 один корень — 5, а иногда подходящих значений может быть несколько. Это определение нужно помнить, чтобы не остановиться на первом найденном значении, если возможны и другие.

Равносильные уравнения — это уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, x + 4 = 9 и x = 5 равносильны: оба имеют один и тот же корень. При решении важно переходить к равносильным уравнениям, иначе можно потерять подходящее значение или получить лишнее.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли заданное число корнем, подставь его вместо неизвестного и отдельно вычисли левую и правую части. Если они равны, число подходит; если различаются, оно не является корнем. Например, для проверки числа 4 в уравнении 2x = 8 получаем 2 · 4 = 8, значит, равенство верно. Подстановка работает потому, что вместо неизвестного мы временно используем известное число.

Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет корни, потому что равные величины после одинакового изменения остаются равными. Если левая часть равна правой, то после прибавления числа n обе части увеличатся на одну и ту же величину. Например, из x − 6 = 10 можно получить x − 6 + 6 = 10 + 6. Это равносильное уравнение: подходящие значения x не меняются, меняется только удобная для решения запись.

Умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число также сохраняет равенство и его корни. Если равные числа умножить на одно и то же число, результаты будут равны; при делении это верно, только когда делитель не равен нулю. Например, из 3x = 18 можно разделить обе части на 3 и получить x = 6. Деление на ноль невозможно, а деление на неизвестное без проверки может удалить возможный корень.

Чтобы решить уравнение, слагаемые с неизвестным удобно собрать в одной части, а числа — в другой. При переносе слагаемое меняет знак, потому что на деле к обеим частям прибавляют противоположное число или вычитают одно и то же число. Затем неизвестное оставляют одно: если перед ним стоит множитель, обе части делят на этот множитель, когда он ненулевой. Например, 4x + 7 = 19 превращается в 4x = 12, а затем в x = 3.

После решения подставь найденное значение в исходное, а не только в промежуточное уравнение. Так проверяется весь ход решения: если левая и правая части исходной записи совпали, корень подходит. Если не совпали, значит, где-то могла появиться вычислительная ошибка или неверное преобразование. Проверка особенно полезна, когда в уравнении несколько действий и легко ошибиться со знаком.

Преобразования уравнений при решении

В таблице показаны действия, которыми можно заменить уравнение на равносильное. В примерах буква x обозначает неизвестное, а число в скобках — действие, выполняемое с обеими частями. Пользуйся правилом только тогда, когда действие допустимо: в частности, делитель не должен быть равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение x + 18 = 45 и проверить ответ.

Неизвестное увеличили на 18 и получили 45, поэтому нужно отменить прибавление. Для этого вычитаем 18 из обеих частей: равенство сохраняется, а слева остаётся только x.

1. Вычтем 18 из обеих частей: x + 18 − 18 = 45 − 18.
2. Вычислим: x = 27.
3. Проверим в исходном уравнении: 27 + 18 = 45, равенство верно.

Ответ: 27. Подстановка подтвердила, что найденное число подходит.

Задача 2. Решить уравнение 7x − 12 = 30.

Сначала уберём число −12, чтобы оставить слагаемое с неизвестным. Затем разделим обе части на 7: множитель при x исчезнет, потому что 7 : 7 = 1.

1. Прибавим 12 к обеим частям: 7x − 12 + 12 = 30 + 12, значит, 7x = 42.
2. Разделим обе части на 7: x = 42 : 7 = 6.
3. Проверим: 7 · 6 − 12 = 42 − 12 = 30.

Ответ: 6. В ходе решения сначала отделили число, а потом нашли неизвестное делением.

Задача 3. За три одинаковые тетради и ручку стоимостью 24 рубля заплатили 99 рублей. Сколько стоит одна тетрадь?

Цена одной тетради неизвестна, обозначим её x рублей. Три тетради стоят 3x рублей, а вместе с ручкой покупка стоит 3x + 24 рубля. По условию эта сумма равна 99 рублям, поэтому получаем уравнение 3x + 24 = 99.

1. Вычтем 24 из обеих частей: 3x = 99 − 24 = 75.
2. Разделим обе части на 3: x = 75 : 3 = 25.
3. Сверим с условием: три тетради по 25 рублей стоят 75 рублей, а с ручкой за 24 рубля — 99 рублей.

Ответ: одна тетрадь стоит 25 рублей. Мы ответили именно на вопрос задачи и проверили, что полученная цена согласуется с общей стоимостью.

Типичные ошибки

Переносят слагаемое в другую часть, но оставляют прежний знак. Такое случается, когда запоминают короткое правило, не связывая его с действием над обеими частями. Проверь себя: если из одной части убираешь +a, значит, вычитаешь a и из другой, поэтому там появляется −a.

Делят только одну часть уравнения на число. Тогда равенство обычно нарушается, потому что изменяется лишь одно из двух равных выражений; ошибка часто возникает из-за спешки. Записывай деление для обеих частей и проверь, что действие выполнено по обе стороны знака равенства.

Делят обе части на выражение, которое может быть равно нулю. Деление на ноль не определено, а деление на неизвестное, способное оказаться нулём, может привести к потере корня. Перед таким шагом проверь, может ли делитель обратиться в ноль; если может, рассмотри этот случай отдельно.

Считают любое найденное значение корнем, не проверяя его. Даже при верном способе можно ошибиться в арифметике, а неверный шаг может изменить множество корней. Подставь число в исходное уравнение и вычисли обе части: если они не равны, ответ нужно перепроверить.

Связь с другими темами

Для решения уравнений нужны арифметические действия с натуральными числами, дробями и отрицательными числами, а также умение соблюдать порядок действий. Если вычислять неверно или путать знаки, уравнение не приведёт к правильному ответу, даже при подходящем способе решения. Уравнения помогают превращать условия текстовых задач в математическую модель: неизвестное обозначают буквой, а связи между величинами записывают равенством. Позже этот навык пригодится при решении более сложных уравнений.

Что запомнить

• Корень уравнения превращает его в верное равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни.
• К обеим частям уравнения можно прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.
• При переносе слагаемого в другую часть его знак меняется.
• Найденный корень полезно проверить подстановкой в исходное уравнение.