"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Длину измеряют миллиметрами, сантиметрами, дециметрами, метрами и километрами. Чтобы сравнивать расстояния и выполнять с ними действия, нужно знать соотношения единиц и уметь заменять одну единицу другой, не меняя саму длину. Крупную единицу переводят в мелкую умножением, мелкую в крупную — делением. Перед сложением и вычитанием величины удобно выразить в одинаковых единицах, а затем при необходимости записать результат составным именованным числом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единица длины — единица, которой измеряют расстояние или протяжённость. К основным единицам длины относятся миллиметр, сантиметр, дециметр, метр и километр. Выбор единицы зависит от того, что измеряют: длину карандаша удобнее записать в сантиметрах, а расстояние между городами — в километрах.
Соотношение единиц длины — равенство, которое показывает, сколько единиц меньшей меры содержится в одной единице большей. Например, 1 м = 100 см: в одном метре сто сантиметров. Такие соотношения нужны, чтобы переходить от одной единицы измерения к другой и сравнивать величины.
Именованное число — число вместе с единицей измерения, например 5 м или 12 см. Запись 5 м означает пять метров, то есть определённую длину, а число 5 само по себе не указывает, что именно и в каких единицах измерено. Единицу нельзя отбросить при вычислениях: она помогает понять смысл ответа.
Преобразование единиц длины — замена одной единицы измерения другой без изменения самой длины. Например, 2 м и 200 см обозначают одну и ту же протяжённость. Преобразование нужно, когда величины записаны в разных единицах или ответ требуется представить в заданном виде.
Единицы длины удобно расположить в ряд от меньших к большим: миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр. Если двигаться по такому ряду, числовое значение при переходе к более мелкой единице увеличивается, потому что одной крупной единице соответствует много мелких. Между соседними единицами не всегда одно и то же число, поэтому нужно помнить соотношения, а не просто считать шаги. Например, 1 м = 100 см, а 1 км = 1000 м.
Чтобы перевести крупную единицу в мелкую, числовую часть умножают на количество мелких единиц в крупной. Это следует из самого соотношения: если каждый метр содержит 100 сантиметров, то три метра содержат в три раза больше — 300 сантиметров. Например, 3 м = 3 · 100 см = 300 см. После перевода числовое значение становится больше, но длина остаётся прежней.
При переводе мелких единиц в крупные выполняют обратное действие — делят числовую часть на количество мелких единиц в крупной. Так, чтобы выразить сантиметры в метрах, число сантиметров делят на 100. Если деление не даёт целого числа метров, остаток можно записать меньшей единицей: 375 см = 3 м 75 см. Такая запись называется составным именованным числом, потому что в ней использованы сразу две единицы.
Складывать и вычитать величины удобнее, когда они выражены в одинаковых единицах: тогда действия выполняются с числами, а единица измерения остаётся общей. Например, метры и сантиметры можно перевести в сантиметры, выполнить вычисление и затем разделить результат на сотни сантиметров и остаток. Другой способ — отдельно сложить или вычесть метры и сантиметры, а затем выполнить перевод между ними. Так сохраняется смысл каждой части записи и не смешиваются разные меры.
При умножении или делении именованного числа на обычное число действие выполняют с числовой частью, сохраняя единицу длины. Например, 4 · 2 м = 8 м, потому что четыре одинаковых отрезка по 2 м дают 8 м. Для составной длины часто сначала выбирают одну удобную единицу, например переводят метры и сантиметры в сантиметры. Проверка здравого смысла помогает заметить ошибку: при умножении на число больше единицы длина должна увеличиться, а при делении — уменьшиться.
| Действие или соотношение | Что сделать | Пример |
|---|---|---|
| 1 км = 1000 м | Заменить 1 км тысячей метров | 2 км = 2000 м |
| 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм | Заменить метр соответствующим числом меньших единиц | 1 м = 100 см |
| Перевод из крупных единиц в мелкие | Умножить числовую часть на соответствующее число | 3 м = 3 · 100 см = 300 см |
| Перевод из мелких единиц в крупные | Разделить числовую часть на соответствующее число | 250 см = 250 : 100 м = 2 м 50 см |
| Сложение и вычитание | Привести слагаемые или уменьшаемое и вычитаемое к одной единице | 1 м + 20 см = 100 см + 20 см = 120 см |
| Умножение и деление на число | Выполнить действие с числовой частью, единицу длины сохранить | 3 · 4 м = 12 м |
В таблице сначала найди нужную единицу и определи, в каком направлении выполняется переход: к меньшей мере или к большей. Затем выбери умножение или деление по соответствующему правилу. Для действий с несколькими величинами проверь, что единицы приведены к одному виду, а итоговая запись соответствует условию.
Задача 1. Вычисли: 3 м 45 см + 2 м 70 см. Здесь удобно сначала сложить метры и сантиметры по отдельности. После сложения сантиметров получится больше 100 см, поэтому эту часть нужно преобразовать в метры и сантиметры.
Ответ: 6 м 15 см. Проверка: 3 м 45 см — меньше 4 м, а 2 м 70 см — меньше 3 м, поэтому сумма должна быть меньше 7 м. Полученный результат этому условию соответствует.
Задача 2. Вычисли: 6 км 80 м − 2 км 950 м. Сначала обратим внимание, что 80 м меньше 950 м, поэтому вычесть метры по отдельности без преобразования не получится. Можно выразить обе длины в метрах или занять 1 км, то есть заменить его 1000 м. Для составной записи удобно использовать второй способ.
Ответ: 3 км 130 м. Проверить можно сложением: к 3 км 130 м прибавляем 2 км 950 м и получаем 6 км 80 м. Значит, вычитание выполнено верно.
Задача 3. Для дорожки приготовили 4 отрезка ленты длиной по 2 м 35 см. Какова общая длина ленты в метрах и сантиметрах? Нужно найти длину четырёх одинаковых отрезков, то есть умножить длину одного отрезка на 4. Удобно предварительно выразить составную длину в сантиметрах, чтобы умножить одно число.
Ответ: общая длина ленты — 9 м 40 см. Четыре отрезка по 2 м дают 8 м, а добавленные сантиметровые части составляют ещё 1 м 40 см. Поэтому результат чуть меньше 10 м, что согласуется с вычислением.
Ошибка — складывать числовые части разных единиц напрямую, например считать 3 м + 40 см равным 43 м. Так делают, когда воспринимают запись как обычные числа и забывают, что метр и сантиметр — разные меры. Сначала переведи величины в одну единицу: 3 м = 300 см, поэтому сумма равна 340 см, или 3 м 40 см. Проверка: 40 см меньше метра, значит сумма должна быть немного больше 3 м, а не 43 м.
При переводе метров в сантиметры иногда делят на 100 вместо умножения. Ошибка возникает из-за того, что путают направление перехода между единицами. В одном метре содержится 100 сантиметров, поэтому 3 м — это 3 · 100 = 300 см. Если переходишь к более мелкой единице, число должно увеличиться; это простое правило помогает проверить знак действия.
При переводе сантиметров в метры можно забыть, что 100 см составляют 1 м, или неверно записать остаток. Например, 375 см — это не 3 м 75 см без объяснения: нужно разделить 375 на 100 и получить 3 целых метра и остаток 75 см. Проверь результат обратным переводом: 3 · 100 см + 75 см = 375 см. Остаток в составной записи должен быть меньше 100 см.
Ещё одна ошибка — записать ответ без единицы измерения или оставить в нём 100 см и более. Это часто происходит после сложения: например, результат 5 м 115 см можно упростить до 6 м 15 см. Переведи каждую полную сотню сантиметров в метры, а затем укажи единицу у результата. Обратное преобразование должно возвращать исходную длину.
Для работы с длинами нужны натуральные числа и умение умножать и делить, в том числе знание таблицы умножения и деления. Эти навыки помогают переводить величины и выполнять действия с именованными числами. Соотношения единиц используют при измерении расстояний и решении задач на скорость и время: прежде чем вычислять, величины часто приводят к подходящим единицам. Тот же способ рассуждения пригодится при действиях с единицами массы, времени и площади, хотя соотношения между их единицами отличаются.
Почему при переводе метров в сантиметры нужно умножать на 100?
В одном метре содержится 100 сантиметров. Поэтому число метров умножают на 100: например, 3 м = 3 · 100 см = 300 см.
Можно ли складывать метры и сантиметры, не переводя их в одну единицу?
Складывать можно, если отдельно сложить метры и сантиметры, а затем перевести каждые 100 см в 1 м. Но для вычисления в одну строку удобнее сначала выразить обе длины в одинаковых единицах.
Как перевести 375 см в метры и сантиметры?
В 1 м содержится 100 см. Раздели 375 на 100: получится 3 целых сотни и остаток 75, значит, 375 см = 3 м 75 см.
Что делать, если при вычитании сантиметров не хватает?
Займи одну более крупную единицу и замени её нужным количеством сантиметров. Например, 1 км можно представить как 1000 м, а 1 м — как 100 см.
Как умножить составную длину, например 2 м 35 см, на 4?
Переведи длину в одну единицу: 2 м 35 см = 235 см. Умножь 235 см на 4 и получи 940 см, затем раздели на 100: это 9 м 40 см.
Урок 20. Действия с единицами длины
