Урок 34 — 36. Чётные и нечётные числа

Определения и обозначения

Чётное число – это целое число, которое делится на 2 без остатка. Это значит, что если мы попытаемся разделить чётное число на 2, то получим целое число, без каких-либо остатков. Например, 4, 10, -12, 0 – чётные числа.

Нечётное число – это целое число, которое при делении на 2 даёт остаток 1. То есть, если разделить нечётное число на 2, то мы всегда получим целую часть и остаток, равный 1. Например, 1, 5, -7, 9 – нечётные числа.

Делитель числа – это целое число, на которое данное число делится без остатка. Например, 2 является делителем 6, так как 6 / 2 = 3 без остатка. Понимание делителей важно для определения чётности и нечётности.

Остаток от деления – это число, которое остаётся после деления одного числа на другое. Например, при делении 7 на 2 мы получаем частное 3 и остаток 1. Остаток показывает, сколько «не хватает» до следующего чётного числа.

Как это устроено

Чётность числа обусловлена тем, как оно формируется. Чётные числа можно представить как сумму двух одинаковых целых чисел, то есть как 2+2, 3+3, и так далее. Визуально это означает, что чётное количество объектов можно разделить на две равные группы. Нечётные числа, наоборот, всегда содержат одну «лишнюю» единицу, которую нельзя разделить поровну.

Важная связь между чётностью и делимостью на 2 заключается в том, что чётное число, по определению, представимо в виде 2 * k, где k – любое целое число. Например, 6 = 2 * 3, 12 = 2 * 6, -8 = 2 * (-4). Эта формула помогает понять, откуда берется чётность, и доказать различные утверждения.

Признак чётности – это простой способ определить, является ли число чётным, не выполняя деление. Нужно просто посмотреть на последнюю цифру числа. Если последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётное. Если же последняя цифра 1, 3, 5, 7 или 9, то число нечётное. Например, 124 – чётное, так как заканчивается на 4, а 357 – нечётное, так как заканчивается на 7.

Чётность влияет на результаты арифметических операций. При сложении и вычитании чётность складывающихся или вычитаемых чисел определяет чётность результата. Чётное + Чётное = Чётное, Нечётное + Нечётное = Чётное, Чётное + Нечётное = Нечётное. Например, 4 + 6 = 10 (чётное), 7 + 9 = 16 (чётное), 5 + 2 = 7 (нечётное).

При умножении чётность множителей также влияет на чётность произведения. Если хотя бы один из множителей чётный, то произведение всегда будет чётным. Чётное * Чётное = Чётное, Чётное * Нечётное = Чётное, Нечётное * Нечётное = Нечётное. Например, 2 * 4 = 8 (чётное), 3 * 6 = 18 (чётное), 5 * 7 = 35 (нечётное).

Чётность арифметических операций

Эту таблицу полезно запомнить, чтобы быстро определять чётность результата арифметических операций, не выполняя вычисления.

Разбор задач

Задача 1: Определите, какие из чисел 12, 15, 20, 23, 28 являются чётными, а какие — нечётными.

1. Рассмотрим число 12. Последняя цифра – 2. Значит, число 12 – чётное.
2. Рассмотрим число 15. Последняя цифра – 5. Значит, число 15 – нечётное.
3. Рассмотрим число 20. Последняя цифра – 0. Значит, число 20 – чётное.
4. Рассмотрим число 23. Последняя цифра – 3. Значит, число 23 – нечётное.
5. Рассмотрим число 28. Последняя цифра – 8. Значит, число 28 – чётное.

Ответ: Чётные числа: 12, 20, 28. Нечётные числа: 15, 23.

Задача 2: Найдите сумму чисел 17 и 25. Является ли результат чётным или нечётным?

1. Сложим числа 17 и 25: 17 + 25 = 42.
2. Рассмотрим число 42. Последняя цифра – 2. Значит, число 42 – чётное.

Ответ: Сумма равна 42, и она является чётной.

Задача 3: Произведение двух чисел равно 36. Известно, что одно из них чётное. Докажите, что второе число тоже чётное.

1. Пусть первое число чётное, например, 6. Тогда произведение равно 6 * x = 36.
2. Чтобы найти второе число, разделим 36 на 6: x = 36 / 6 = 6.
3. Полученное число x = 6 является чётным.

Ответ: Доказано, что второе число тоже чётное.

Типичные ошибки

Ошибка 1: Считать, что любое число, делящееся на 2, является чётным. Эта ошибка возникает из-за того, что забывают о требовании, что делитель должен быть целым числом. Например, 3 / 2 = 1.5 – деление есть, но число 3 не чётное.

Ошибка 2: Путать определение чётности и кратности числу 2. Чётность – это свойство числа делиться на 2 без остатка. Кратность – это более общее понятие: число кратно 2, если оно может быть получено умножением 2 на целое число.

Ошибка 3: Неправильно определять чётность суммы или разности, если не учитывать знак числа. Чётность и нечётность зависят от значения числа, а не от его знака. Например, -3 – нечётное число.

Ошибка 4: Применять правила чётности к нецелым числам. Правила чётности применимы только к целым числам. Например, 2.5 не является ни чётным, ни нечётным.

Связь с другими темами

Понятие целых чисел: Понимание того, что такое целые числа (положительные, отрицательные и ноль), необходимо для определения чётности и нечётности. Чётные и нечётные числа являются частью множества целых чисел.

Действия над целыми числами: Знания сложения, вычитания, умножения и деления необходимы для понимания того, как чётность влияет на результаты арифметических операций и для решения задач с чётными и нечётными числами.

Что запомнить

• Чётное число делится на 2 без остатка.
• Нечётное число при делении на 2 даёт остаток 1.
• Сумма двух чётных чисел – чётное число.
• Сумма двух нечётных чисел – чётное число.
• Сумма чётного и нечётного числа – нечётное число.
• Произведение двух чётных чисел – чётное число.
• Произведение чётного и нечётного числа – чётное число.