Урок 19 — 20 Решение задач

Определения и обозначения

Текстовая задача — описание жизненной ситуации с известными и неизвестными величинами, между которыми установлены связи. Иначе говоря, в тексте сообщается, что известно, и спрашивается то, чего пока не знаем. Это определение помогает искать не отдельные числа, а отношения между ними, чтобы выбрать способ решения.

Условие задачи — сведения о величинах и их отношениях, необходимые для решения. В условии могут быть числа, единицы измерения и слова, описывающие, как величины связаны. Выделив эти сведения, легче понять, какие данные пригодятся и чего не хватает.

Требование задачи — вопрос, на который нужно ответить, определив неизвестную величину. Например, вопрос «сколько осталось?» указывает, что нужно найти остаток, а не просто выполнить любое действие с числами из текста. Понимание требования задаёт цель решения и помогает не сбиться на промежуточный результат.

Модель задачи — краткая запись, схема, таблица или рисунок, показывающие связи между данными и неизвестным. Модель переводит длинное описание в более наглядный вид, где проще сопоставить величины. Она нужна, чтобы продумать ход решения и заметить, какие действия приведут к ответу.

Как это устроено

Прочитай задачу целиком, а затем определи, какие величины известны, какая неизвестна и что спрашивается. Одни числа могут обозначать разные вещи, поэтому рядом с каждым полезно мысленно назвать величину и единицу измерения. Так ты не перепутаешь, например, количество предметов с массой или временем. Связи между величинами подсказывают смысл будущих действий.

Требование стоит понять до выбора действия, потому что одно и то же число может участвовать в разных вычислениях. Спроси себя, какую величину нужно найти и какие сведения связаны именно с ней. Иногда ответ нельзя получить сразу: сначала нужно вычислить промежуточную величину. Если начать считать, не выяснив вопрос, можно получить верное число, которое не отвечает на задачу.

Краткая запись или схема показывает данные и неизвестное рядом, а также то, как они соотносятся. Например, одинаковые группы удобно изобразить рядами, а изменение количества — стрелкой от начального значения к конечному. Такая модель помогает увидеть, какие числа относятся друг к другу, и не потерять данные в длинном тексте. Выбирай самый простой вид записи, который проясняет условие.

План решения — последовательность шагов, ведущих к ответу. Для каждого шага нужно назвать, что именно мы находим и зачем это понадобится дальше. Если задача требует сначала найти общий запас, а потом остаток, план помогает не перепутать этот порядок. Обоснование каждого действия показывает, что оно следует из условия, а не выбрано наугад.

После вычислений сформулируй ответ словами и проверь, что он относится к требуемой величине. Сверь наименование и единицы измерения: если спрашивали килограммы, ответ не может быть в штуках. Затем оцени число по ситуации и, если возможно, проверь вычисления обратным действием. Такая проверка помогает заметить как арифметическую ошибку, так и неверно выбранный ход решения.

Этапы решения текстовой задачи

Пользуйся таблицей как маршрутом: переходи к следующему этапу, когда понял результат предыдущего. В простой задаче некоторые шаги можно выполнить мысленно, а в сложной полезно записать их отдельно. Если решение застопорилось, вернись к модели и проверь, все ли связи между величинами учтены.

Разбор задач

Задача 1. В коробке было 18 карандашей. 7 карандашей взяли. Сколько карандашей осталось? Из условия известны начальное количество и число взятых карандашей, а требуется найти остаток. Связь «было — взяли — осталось» означает, что часть предметов убрали из общего количества.

1. Запишем: было 18 карандашей, взяли 7, осталось неизвестно. Так становится ясно, что нужно найти количество после уменьшения.
2. Вычтем взятые карандаши: 18 − 7 = 11. Вычитание подходит, потому что количество в коробке уменьшилось.
3. Проверим: оставшихся карандашей должно быть меньше, чем было, и 11 + 7 = 18. Условие соблюдается.

Ответ: осталось 11 карандашей. Число снабжено названием величины и отвечает на вопрос задачи.

Задача 2. В четырёх рядах посадили по 6 деревьев, а затем ещё 9 деревьев. Сколько деревьев посадили всего? Сначала нужно узнать число деревьев в четырёх одинаковых рядах, ведь 6 относится к каждому ряду. После этого можно учесть ещё 9 деревьев, посаженных дополнительно.

1. Найдём число деревьев в рядах: 4 · 6 = 24. Умножаем, потому что четыре одинаковые группы содержат по 6 деревьев.
2. Прибавим деревья, посаженные после этого: 24 + 9 = 33. Сложение объединяет две части общего количества.
3. Проверим ход мысли: всего должно быть больше 24, поскольку посадили ещё 9 деревьев. Полученное число этому соответствует.

Ответ: всего посадили 33 дерева. В решении каждый шаг находит часть общего количества, нужную для следующего шага.

Задача 3. В школьную столовую привезли 5 ящиков по 12 кг яблок. До обеда израсходовали 27 кг, а после обеда — ещё 18 кг. Сколько килограммов яблок осталось? Чтобы найти остаток, сначала определим весь привезённый запас, а затем общий расход. Такой порядок нужен, потому что остаток — это запас за вычетом израсходованного.

1. Найдём массу яблок в пяти ящиках: 5 · 12 = 60 кг. Ящики одинаковые по массе, поэтому количество ящиков умножаем на массу одного.
2. Найдём общий расход: 27 + 18 = 45 кг. Складываем, потому что яблоки израсходовали в два разных момента.
3. Вычтем расход из запаса: 60 − 45 = 15 кг. Проверим, что 45 кг не больше 60 кг и остаток положительный.

Ответ: осталось 15 кг яблок. Единица измерения сохранена, а проверка подтверждает, что результат возможен.

Типичные ошибки

Нельзя выбирать действие только по отдельному слову, например считать, что слово «всего» всегда означает сложение. Ученик может так поступить, потому что запоминает словесные подсказки, но не анализирует отношения между величинами. Спроси себя, что происходит с количеством в ситуации, и проверь, отвечает ли действие на вопрос задачи.

Иногда в решении пропускают данные условия или добавляют действие, смысл которого не объяснён. Так бывает, если начать считать до того, как построена модель и определён план. Проверь, использовано ли каждое нужное данное и можешь ли ты словами объяснить назначение каждого вычисления.

Перепутанные величины или единицы измерения делают результат несопоставимым с вопросом. Например, нельзя сложить число ящиков с массой яблок и получить осмысленную массу. Подписывай величины в краткой записи и проверяй, что единица ответа соответствует требованию задачи.

Ответ без наименования или без проверки может оказаться непонятным либо неверным по смыслу. Это происходит, когда ученик считает вычисления завершённым решением и забывает вернуться к вопросу. Запиши ответ полным предложением, а затем сравни число с условием и оцени, правдоподобно ли оно.

Связь с другими темами

Для решения текстовых задач нужны навыки чтения и анализа текста, а также сложение, вычитание, умножение и деление. Нужно уметь работать с величинами и единицами измерения, чтобы правильно записывать данные и ответ. Если вычисления выполняются уверенно, больше внимания остаётся на поиске связей между величинами.

Модель задачи может быть краткой записью, таблицей или схемой, а неизвестную величину иногда удобно обозначить буквой и составить уравнение. Уравнение выражает связь между известными данными и неизвестным числом. Поэтому умение решать текстовые задачи помогает понимать, как математическая модель описывает условие.

Этот способ рассуждения пригодится в задачах на движение, стоимость, производительность и проценты. В них тоже нужно выяснить, какие величины известны, как они связаны и что требуется найти. Чем точнее составлена модель и план, тем легче выбрать подходящие вычисления.

Что запомнить

• Сначала нужно понять условие и требование задачи.
• Известные величины и неизвестное удобно обозначать в краткой записи или схеме.
• Действие выбирают по смысловой связи между величинами, а не по отдельному слову.
• Каждый шаг решения должен иметь объяснение.
• Ответ должен содержать число и наименование величины.
• Результат нужно проверить по условию и здравому смыслу.