"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Формула помогает коротко записать связь между величинами и использовать её для решения задач. Для равномерного движения путь равен произведению скорости на время: s = vt. Зная любые две величины, можно найти третью: скорость — разделив путь на время, а время — разделив путь на скорость. Чтобы получить верный ответ, нужно правильно выбрать формулу, согласовать единицы измерения и проверить смысл результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула пути — запись зависимости пройденного пути от скорости и времени: s = vt. Она нужна, чтобы быстро находить неизвестную величину, когда известны две другие. Буквы в формуле позволяют записать общий способ решения, который подходит для разных числовых данных.
Скорость — расстояние, которое тело проходит за единицу времени; в формуле пути она обозначается v. Например, скорость 5 км/ч означает, что за один час тело проходит 5 километров. Знание скорости помогает определить, насколько быстро меняется положение движущегося тела.
Время движения — продолжительность движения; оно обозначается t. Его измеряют, например, в секундах, минутах или часах. В формуле это величина показывает, сколько единиц времени тело двигалось, и нужна, чтобы связать скорость с пройденным расстоянием.
Пройденный путь — расстояние, которое тело преодолело за время движения; он обозначается s. Его измеряют в метрах, километрах и других единицах длины. Именно путь часто требуется найти в задачах о движении, а если он известен, его можно использовать для вычисления скорости или времени.
Смысл скорости позволяет получить формулу пути. Если за одну единицу времени проходят v единиц пути, то за две такие единицы проходят 2v, за три — 3v. Значит, за t единиц времени тело проходит t одинаковых отрезков по v, а их общая длина равна произведению vt. Поэтому записывают s = vt.
Из формулы s = vt можно найти скорость, если известны путь и время. Путь состоит из одинаковых отрезков, проходимых за каждую единицу времени, поэтому нужно определить, сколько пути приходится на одну единицу времени. Для этого весь путь делят на время: v = s : t. Например, если 120 км пройдены за 2 ч, за один час в среднем пройдено 60 км.
Чтобы найти время, нужно известный путь разделить на скорость: t = s : v. Причина в том, что скорость показывает путь за одну единицу времени, а деление общего пути на такой отрезок показывает, сколько временных единиц понадобилось. Например, при пути 20 км и скорости 5 км/ч движение длится 20 : 5 = 4 ч.
Выбирать формулу удобно после разбора условия. Сначала найди вопрос задачи и обозначь искомую величину, затем выпиши рядом с буквами все известные данные. Если требуется путь и даны скорость со временем, подходит s = vt; если требуется скорость — v = s : t; если время — t = s : v. Такой порядок помогает не выбирать действие наугад.
Перед подстановкой чисел нужно согласовать единицы измерения, потому что действия с величинами имеют смысл только при совместимых единицах. Например, скорость в км/ч нельзя напрямую использовать с путём в метрах, если не перевести одну из величин. После вычислений проверь результат обратной подстановкой в исходную формулу. Затем оцени, подходит ли величина ответа условию и записана ли правильная единица.
| Что требуется найти | Формула | Что известно |
|---|---|---|
| Пройденный путь s | s = vt | Скорость v и время t |
| Скорость v | v = s : t | Путь s и время t |
| Время t | t = s : v | Путь s и скорость v |
Найди в первом столбце величину, которую спрашивают в задаче, и посмотри на соответствующую формулу. Затем проверь, что обе величины в третьем столбце действительно известны. Перед вычислением убедись, что их единицы согласованы.
Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч в течение 3 ч. Нужно определить, какой путь он проехал. Известны скорость и время, поэтому используем формулу для нахождения пути. Единицы уже согласованы: скорость дана в километрах в час, а время — в часах.
Ответ: велосипедист проехал 36 км. Проверка показывает, что за каждый час он проезжал по 12 км, а за три часа — втрое больше.
Автомобиль проехал 240 км за 4 ч. Требуется найти его среднюю скорость, то есть путь, приходящийся на один час движения. Известны путь и время, поэтому выбираем деление пути на время. Километры и часы дают скорость в км/ч.
Ответ: средняя скорость автомобиля равна 60 км/ч. Проверим: за 4 ч при такой скорости автомобиль проехал бы 60 · 4 = 240 км, как указано в условии.
Пешеходу нужно пройти 18 км. Первые 2 ч он шёл со скоростью 5 км/ч, затем продолжил путь со скоростью 4 км/ч. Нужно узнать продолжительность всего пути. Здесь движение состоит из двух участков: сначала найдём путь на первом, а затем определим оставшееся расстояние и время на втором.
Ответ: весь путь занял 4 ч. Проверка: за второй участок пешеход прошёл 4 км/ч · 2 ч = 8 км, а вместе с первыми 10 км это составляет 18 км.
Ученик может умножать или делить величины не по смыслу зависимости. Так бывает, если выбирать действие, не выяснив, что показывает каждая величина. Перед вычислением назови искомую величину и проверь формулу: например, скорость — это путь, разделённый на время.
Ошибка возникает, если использовать несовместимые единицы, например подставить путь в метрах и скорость в км/ч. Иногда числа выглядят удобными, и необходимость перевода не замечают. Сначала сведи величины к общей системе: например, переведи метры в километры или скорость в метры в час.
Можно перепутать обозначения пути, скорости и времени, особенно если в условии много чисел. Чтобы не ошибиться, выпиши данные рядом с буквами: s — путь, v — скорость, t — время. Затем ещё раз сравни запись с вопросом задачи и проверь, что подставляешь каждое число на своё место.
Запись числа без единицы измерения или без проверки смысла делает ответ неполным. Это часто происходит, когда внимание сосредоточено только на вычислении. Запиши единицу и оцени результат: например, путь не может измеряться в км/ч, а скорость — просто в километрах.
Для работы с формулами нужно уметь находить неизвестное слагаемое, множитель и делитель: именно эти действия помогают выразить скорость или время. Также пригодится умение выполнять действия с именованными числами, то есть числами с единицами измерения. Формула пути опирается на буквенные выражения: буквы можно заменять известными числами и вычислять результат. Такой способ дальше применяется не только в задачах на движение, но и при изучении работы и других зависимостей между величинами.
Как понять, какую формулу нужно использовать?
Определи, что требуется найти, и выпиши известные величины рядом с обозначениями s, v и t. Затем выбери формулу, в которой неизвестная величина выражена через известные.
Как из формулы пути выразить скорость или время?
Из равенства s = vt раздели обе части на t, чтобы получить v = s : t. Если разделить обе части на v, получится t = s : v.
Что делать, если величины даны в разных единицах?
До вычислений приведи их к согласованным единицам. Например, если скорость дана в км/ч, путь удобно выразить в километрах, а время — в часах.
Почему при нахождении скорости путь делят на время?
Скорость показывает, какой путь приходится на одну единицу времени. Поэтому весь пройденный путь нужно разделить на продолжительность движения.
Как проверить, что ответ задачи правдоподобен?
Подставь найденное число обратно в формулу и проверь, получается ли известная величина. Также сравни ответ с условием: оцени, подходит ли его величина и единица измерения.
Урок 33 Решение задач с помощью формул
