"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Сложение помогает узнать, сколько предметов стало в нескольких объединённых группах, а вычитание — найти остаток или часть целого. Числа при сложении называются слагаемыми, а результат — суммой; при вычитании используют уменьшаемое и вычитаемое, результатом становится разность. Эти действия связаны: вычитание можно проверить сложением. Знание их свойств помогает считать, решать задачи и работать с выражениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, с помощью которого находят общее количество; результат сложения называется суммой. Например, если к трём яблокам добавить два, всего получится пять яблок: 3 + 2 = 5. Сложение нужно, когда объединяют группы или увеличивают количество.
Слагаемые — числа, которые складывают; их результат называют суммой. В записи 3 + 2 = 5 числа 3 и 2 — слагаемые, а 5 — сумма. Названия помогают различать числа, с которыми выполняют действие, и его результат.
Вычитание — действие, с помощью которого по общему количеству и его части находят другую часть. Если из семи яблок убрать два, можно узнать, сколько осталось: 7 − 2 = 5. Такое действие используют, когда находят остаток или сравнивают количества.
Уменьшаемое — число, из которого вычитают; вычитаемое — число, которое вычитают; результат называется разностью. В записи 7 − 2 = 5 число 7 — уменьшаемое, 2 — вычитаемое, 5 — разность. Эти названия позволяют правильно читать действие и проверять вычисления.
Сложение объединяет две группы предметов, поэтому сумма показывает, сколько предметов стало всего. Например, если в одной коробке четыре карандаша, а в другой три, при объединении получится семь карандашей. Каждую группу можно пересчитать отдельно, а затем посчитать все предметы вместе. Так смысл сложения объясняет, почему результат отвечает на вопрос «сколько всего?».
Перестановка слагаемых не меняет сумму: это следует из того, что объединённые группы остаются теми же. Если сначала считать предметы из первой группы, а затем из второй, общее количество не изменится; можно начать и со второй группы. Поэтому 4 + 3 = 3 + 4. Это свойство удобно при вычислении: иногда порядок слагаемых можно выбрать так, чтобы считать было проще.
Вычитание связано со сложением: чтобы найти разность, нужно определить, какое число надо прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое. Например, в выражении 9 − 4 нужно узнать, сколько прибавить к 4, чтобы получить 9; это число 5. Значит, 9 − 4 = 5, потому что 4 + 5 = 9. Такая связь объясняет и способ проверки: к разности прибавляют вычитаемое.
Вычитание не всегда можно выполнить в натуральных числах: например, из меньшего числа нельзя вычесть большее, если рассматриваются только натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Если из четырёх предметов попытаться убрать шесть, невозможно получить натуральное количество оставшихся предметов. Позже в математике появляются другие числа, но при работе только с натуральными числами такой результат не подходит.
Число 0 не изменяет число при сложении; при вычитании нуля число остаётся прежним, а вычитание числа из самого себя даёт ноль. К группе из пяти предметов, например, можно добавить ноль предметов — количество останется равным пяти. Если из пяти предметов ничего не убрать, их тоже останется пять. А если убрать все пять, не останется ни одного: 5 − 5 = 0.
| Действие | Запись | Названия компонентов | Результат | Проверка |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | a + b = c | a и b — слагаемые | c — сумма | Можно переставить слагаемые: b + a = c |
| Вычитание | a − b = c | a — уменьшаемое, b — вычитаемое | c — разность | c + b = a |
| Связь сложения и вычитания | b + c = a | b — вычитаемое, c — разность | a — уменьшаемое | Разность находится подбором слагаемого |
Сначала найди в нужной строке действие, затем соотнеси запись с названиями чисел и результата. В строке вычитания формула проверки показывает, какие числа нужно сложить после вычисления. Буквы обозначают числа, поэтому вместо них можно подставить конкретные значения.
Задача 1. Вычислите 27 + 15 и назовите компоненты действия. Нужно узнать общий результат сложения двух чисел. Для вычисления удобно прибавить сначала десяток, а затем оставшиеся единицы.
Ответ: 42; слагаемые — 27 и 15, сумма — 42. Названия компонентов можно определить по их роли в записи, а не по величине чисел. Это поможет не перепутать результат с числами, которые складывают.
Задача 2. Вычислите 84 − 39 и проверьте результат сложением. Вычитание означает, что из 84 убирают 39, поэтому важно сохранить порядок чисел. После вычисления сложим ответ с вычитаемым и проверим, вернётся ли исходное число.
Ответ: 45. При проверке разность и вычитаемое дали уменьшаемое 84. Если бы сумма не совпала с уменьшаемым, нужно было бы проверить вычисление ещё раз.
Задача 3. В магазине было 125 тетрадей. Сначала продали 38, затем ещё 27; нужно найти, сколько осталось, двумя способами. Важно учесть оба уменьшения и не принять проданные тетради за оставшиеся. Можно вычитать каждую проданную часть отдельно или сначала узнать, сколько продали всего.
Ответ: 60 тетрадей. Оба способа дают одинаковый результат, потому что в каждом случае из первоначального количества убирают одни и те же 38 и 27 тетрадей. Второй способ удобен, если проще сначала сложить проданные части.
Иногда сумму или разность называют компонентом действия. Так путают результат с числами, над которыми выполняли действие, особенно если не обращают внимания на знаки. Проверь себя: при сложении два слагаемых записаны до знака равенства, а сумма стоит после него; при вычитании результат также стоит после знака равенства.
При вычитании нельзя менять числа местами: 9 − 4 и 4 − 9 — разные выражения, потому что первое число обозначает уменьшаемое. Путаница возникает, если считать, что вычитание устроено так же, как сложение. Проверь смысл: из какого количества убирают и сколько убирают; затем можно проверить ответ сложением.
Неверно проверять вычитание ещё одним вычитанием. Такая проверка не показывает напрямую, вернулись ли к исходному уменьшаемому, и может повторить ту же ошибку. Прибавь к разности вычитаемое: если получено уменьшаемое, проверка пройдена.
Нельзя считать, что вычитание всегда даёт натуральное число. Это заблуждение появляется, если забыть, что натуральные числа используют для счёта предметов, а отрицательное количество предметов невозможно. Сравни уменьшаемое и вычитаемое до вычисления: если уменьшаемое меньше, натуральной разности нет.
Перед изучением сложения и вычитания нужно уметь считать предметы и записывать натуральные числа. Также пригодится сравнение чисел: оно помогает понять, можно ли выполнить вычитание в натуральных числах. Эти умения связывают запись чисел с действиями над ними.
Сложение и вычитание нужны для решения текстовых задач: по условию можно определить, что объединяют, а что убирают. Они станут основой работы с выражениями и уравнениями, где действия записывают с помощью чисел и букв. Те же правила пригодятся при вычислениях с многозначными числами.
Как называются числа при сложении?
Числа, которые складывают, называются слагаемыми. Результат сложения — сумма.
Как проверить, правильно ли выполнено вычитание?
Прибавь к разности вычитаемое. Если получилась исходная величина — уменьшаемое, вычитание выполнено верно.
Почему при вычитании нельзя менять числа местами?
При вычитании первое число показывает целое, из которого убирают часть, а второе — эту часть. Если поменять числа местами, изменится смысл действия и обычно получится другой результат.
Что получится, если к числу прибавить ноль?
Получится то же число: ноль не добавляет новых предметов. Например, 8 + 0 = 8.
Можно ли из меньшего натурального числа вычесть большее?
В натуральных числах — нельзя: результат будет отрицательным, а отрицательные числа не относятся к натуральным. Например, 4 − 9 не имеет натурального значения.
1.1. Действия сложения и вычитания
