"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Периметр — это длина границы фигуры. Для многоугольника его находят, складывая длины всех сторон, причём каждую сторону учитывают один раз. Периметр помогает узнать, например, сколько материала нужно для рамки или ограждения участка. Для прямоугольника используют формулу P = 2(a + b), а для квадрата — P = 4a. Перед вычислением длины приводят к одинаковым единицам, а ответ записывают в единицах длины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Периметр — это длина границы фигуры. У многоугольника граница состоит из прямых отрезков, поэтому периметр равен сумме длин всех его сторон. Такое определение помогает понять, что именно нужно измерять, когда требуется узнать длину края фигуры, например для рамки.
Периметр обычно обозначают латинской буквой P. После вычисления рядом с числом записывают единицу длины: например, P = 12 см. Обозначение делает запись короткой и понятной, а единица показывает, какую именно величину мы нашли.
Периметр многоугольника — сумма длин его сторон. Каждую сторону учитывают один раз: если пройти по границе фигуры от вершины к вершине и вернуться в исходную точку, мы пройдём по всем сторонам ровно по одному разу. Это правило помогает не пропустить сторону и не прибавить одну и ту же длину дважды.
Единицы длины — единицы, которыми измеряют стороны и выражают периметр: миллиметры, сантиметры, метры и другие. Перед сложением все слагаемые должны быть выражены в одинаковых единицах. Иначе числа показывают разные величины, поэтому их нельзя складывать, пока мы не переведём их, например, в сантиметры или метры.
Представьте, что вы обходите многоугольник по его границе и отмечаете начало пути. Чтобы вернуться к началу, придётся пройти по каждой стороне, поэтому весь путь состоит из длин всех сторон. Именно общая длина этого пути и есть периметр; сложение позволяет собрать длину отдельных участков в одну.
Чтобы вычислить периметр фигуры, измерьте линейкой каждую её сторону и запишите результаты. Затем проверьте единицы измерения и составьте сумму: для треугольника со сторонами a, b и c это P = a + b + c. Такой способ подходит для любого многоугольника: в сумме должно быть столько слагаемых, сколько у фигуры сторон.
У прямоугольника противоположные стороны равны. Если две стороны имеют длину a, а две другие — длину b, то сумма всех четырёх сторон равна a + b + a + b. Сгруппируем одинаковые слагаемые: a + a = 2a, а b + b = 2b, значит, P = 2a + 2b = 2(a + b). Формула удобна тем, что достаточно знать длину и ширину, а не записывать все четыре стороны отдельно.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Если длина одной стороны равна a, то периметр составляет a + a + a + a. Четыре одинаковых слагаемых можно записать как произведение 4a, поэтому формула квадрата — P = 4a. Она позволяет быстро найти длину границы, когда известна только одна сторона.
Если стороны записаны в разных единицах, сначала выберите одну единицу и переведите в неё все длины. Например, 1 м = 100 см, поэтому 2 м 30 см можно записать как 230 см. После этого сложите значения, а ответ укажите с выбранной единицей; если в задаче есть проём в ограждении, его длину вычитают из полного периметра.
В таблице собраны способы находить периметр разных фигур. Буквами обозначены длины сторон, а P — периметр.
| Фигура | Что известно | Как найти периметр |
|---|---|---|
| Многоугольник | Длины всех сторон | Сложить длины всех сторон |
| Треугольник | Длины трёх сторон a, b, c | P = a + b + c |
| Прямоугольник | Длина a и ширина b | P = 2(a + b) |
| Квадрат | Длина стороны a | P = 4a |
Сначала найдите в таблице строку с нужной фигурой и проверьте, какие данные известны. Затем выберите подходящую формулу или сложите длины сторон напрямую. Если величины записаны в разных единицах, приведите их к одной до вычисления.
Задача 1. Найти периметр треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Нужно узнать общую длину его границы, поэтому сложим длины всех трёх сторон. Все значения уже выражены в сантиметрах, переводить единицы не требуется.
Ответ: 12 см. Проверка: в сумме использованы все три стороны по одному разу, а единица ответа совпадает с единицами длин сторон.
Задача 2. Найти периметр прямоугольника длиной 8 см и шириной 3 см. У прямоугольника есть ещё две стороны, равные этим: вторая длинная сторона равна 8 см, а вторая короткая — 3 см. Поэтому можно сложить четыре стороны или воспользоваться формулой P = 2(a + b).
Ответ: 22 см. Сложение четырёх сторон даёт тот же результат: 8 + 3 + 8 + 3 = 22 см.
Задача 3. Прямоугольный участок имеет длину 12 м и ширину 7 м. Сколько метров ограждения нужно, если оставить проём шириной 2 м? Сначала найдём длину ограды вокруг всего участка, как если бы проёма не было. Затем уберём из этого результата те 2 м границы, где ограждение устанавливать не нужно.
Ответ: нужно 36 м ограждения. Перед вычитанием все величины уже выражены в метрах, а полученный результат относится к длине ограды.
Складывают только две соседние стороны прямоугольника. Так иногда делают, потому что знают длину и ширину, но забывают про две противоположные стороны. Тогда получается лишь половина периметра. Проверьте, что в сумме учтены все четыре стороны, или используйте P = 2(a + b).
Умножают сторону квадрата на 2 вместо 4. Здесь путают периметр со значением, полученным от удвоения стороны. У квадрата четыре равные стороны, поэтому периметр равен 4a. Для проверки можно записать сумму a + a + a + a и сравнить её с результатом.
Складывают сантиметры и метры без перевода. Например, запись 2 м + 30 см нельзя сразу считать как 32: числа относятся к разным единицам. Сначала переведите обе длины в метры или сантиметры, а затем выполните сложение. После вычисления проверьте, что все слагаемые были записаны в одной единице.
Записывают периметр в квадратных единицах. Это происходит, когда длину границы путают с площадью, которая измеряет часть плоскости внутри фигуры. Периметр — длина, поэтому его записывают, например, в сантиметрах или метрах, но не в см² или м². Сверьте единицу ответа с тем, что измеряли: границу или внутреннюю часть фигуры.
Для вычисления периметра нужно уметь измерять отрезки и складывать натуральные числа и величины длины. Эти навыки позволяют правильно получить общую длину сторон. Если используются разные единицы, пригодятся знания о переводе метров в сантиметры и других единиц длины.
Периметр встречается в практических задачах: по нему рассчитывают длину ограды вокруг участка, материала для рамки или ленты по краю изделия. В задачах с воротами или проёмами из полного периметра вычитают незакрытый участок. Позже периметр помогает отличать границу фигуры от площади — части плоскости внутри неё.
Что называют периметром фигуры?
Периметр — это длина границы фигуры. У многоугольника граница состоит из сторон, поэтому периметр равен сумме длин всех сторон.
Как найти периметр многоугольника?
Измерьте длину каждой стороны и сложите полученные значения. Перед сложением выразите все длины в одинаковых единицах, а в ответе укажите единицу длины.
Почему периметр прямоугольника можно вычислить по формуле P = 2(a + b)?
У прямоугольника противоположные стороны равны: две стороны имеют длину a, а две другие — длину b. Поэтому P = a + b + a + b = 2(a + b).
Как найти сторону квадрата, если известен его периметр?
Периметр квадрата равен четырём равным сторонам: P = 4a. Чтобы найти сторону, разделите периметр на 4: a = P : 4.
В каких единицах записывают периметр?
Периметр записывают в единицах длины: например, в миллиметрах, сантиметрах, метрах или километрах. Квадратные единицы для периметра не используют, потому что они относятся к площади.
2.15. Периметр
