2.35. Сложение и вычитание чисел

Определения и обозначения

Сумма — результат сложения. В записи a + b числа a и b называются слагаемыми. Например, в выражении 4 + 3 слагаемые равны 4 и 3, а их сумма равна 7. Это название помогает различать числа, которые складывают, и полученный ответ.

Разность — результат вычитания. В записи a − b число a называется уменьшаемым, а число b — вычитаемым. Например, в выражении 9 − 5 из уменьшаемого 9 вычитают 5. Эти названия помогают понять, какое число изменяют и какое действие выполняют.

Противоположные числа — числа, сумма которых равна нулю: например, 6 и −6. На числовой прямой они расположены по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии от него. Такое расположение показывает, что перемещения на 6 единиц вправо и на 6 влево взаимно уничтожаются.

Модуль числа — расстояние от числа до нуля на числовой прямой, его записывают с помощью знака | |. Например, |−4| = 4 и |4| = 4. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен; он нужен, чтобы сравнивать величины чисел без учёта их знаков.

Как это устроено

Сложение удобно представить как перемещение по числовой прямой. Начни в точке, соответствующей первому слагаемому: если второе слагаемое положительное, двигайся вправо, если отрицательное — влево. Например, при прибавлении −3 нужно пройти три единицы влево. Знак указывает направление, а модуль — длину перемещения.

Когда знаки слагаемых одинаковы, оба перемещения направлены в одну сторону. Поэтому их длины, то есть модули, складываются, а направление остаётся прежним. Так, движение на 4 единицы влево и ещё на 2 влево приводит на 6 единиц влево от начала отсчёта. Отсюда правило: складывают модули и сохраняют общий знак.

Если знаки разные, перемещения направлены навстречу друг другу и частично компенсируются. Чтобы найти оставшееся расстояние, из большего модуля вычитают меньший. Направление задаёт более длинное перемещение, поэтому сумма получает знак числа с большим модулем. При равных модулях перемещения полностью компенсируются, и сумма равна нулю.

Вычитание заменяют сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). На прямой вычитание числа означает движение в сторону, противоположную той, которую задаёт это число при сложении. Например, вычесть положительное число — значит двигаться влево, а прибавление противоположного отрицательного числа тоже направляет влево. Поэтому оба действия приводят к одной точке.

Чтобы убедиться в результате, используют действие, обратное выполненному. Сложение отменяется вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Вычитание отменяется сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое. Проверка полезна, потому что помогает обнаружить ошибку и в вычислении модулей, и в выборе знака.

Правила сложения и вычитания чисел

Сначала определи, складываешь ты числа или вычитаешь: при вычитании сперва замени вычитаемое противоположным числом. Затем сравни знаки и выбери нужное действие с модулями. В конце отдельно проверь знак результата, особенно если слагаемые имеют разные знаки.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите −7 + (−5). Оба слагаемых отрицательные, значит, перемещения направлены влево. Их длины складываются, а ответ сохраняет общий знак. Поэтому здесь не нужно сравнивать модули и вычитать их.

1. Найдём модули слагаемых: |−7| = 7, |−5| = 5.
2. Сложим модули: 7 + 5 = 12.
3. Сохраним знак слагаемых: −7 + (−5) = −12.

Ответ: −12. Проверить можно вычитанием: −12 − (−5) = −12 + 5 = −7, то есть получено первое слагаемое.

Задача 2. Вычислите 12 + (−19). Знаки у слагаемых разные, поэтому их перемещения направлены в противоположные стороны. Более длинное перемещение имеет длину 19 и направлено влево. Значит, ответ будет отрицательным, а его модуль равен разности длин.

1. Найдём модули: |12| = 12, |−19| = 19.
2. Вычтем меньший модуль из большего: 19 − 12 = 7.
3. Поставим знак числа с большим модулем: 12 + (−19) = −7.

Ответ: −7. Проверка вычитанием: −7 − (−19) = −7 + 19 = 12. Получили исходное первое слагаемое.

Задача 3. Вычислите −3,6 − (−5,2) и проверьте результат. Сначала заменим вычитание сложением числа, противоположного вычитаемому. Противоположное числу −5,2 — число 5,2, поэтому теперь складываем числа с разными знаками. Модуль положительного слагаемого больше, так что сумма будет положительной.

1. Заменим вычитание: −3,6 − (−5,2) = −3,6 + 5,2.
2. Вычтем меньший модуль из большего: 5,2 − 3,6 = 1,6.
3. Выберем знак слагаемого с большим модулем: получаем 1,6.
4. Проверим сложением с вычитаемым: 1,6 + (−5,2) = −3,6.

Ответ: 1,6. Проверка верна: к разности прибавили вычитаемое и получили исходное уменьшаемое.

Типичные ошибки

• При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули, перенося правило для одинаковых знаков. Но такие слагаемые задают противоположные перемещения, поэтому часть пути компенсируется и нужно вычитать меньший модуль из большего. Для проверки представь оба движения на числовой прямой.

• Знак суммы чисел с разными знаками иногда выбирают по числу с меньшим модулем. Так можно ошибиться, если смотреть только на знак, не сравнив величины перемещений. Сравни модули: результат направлен туда, куда указывает слагаемое с большим модулем.

• В записи a − b могут оставить знак вычитаемого без изменения и ошибочно считать a + b. Путаница возникает потому, что минус вычитания и знак числа — разные вещи. Замени вычитание на a + (−b), а затем проверь ответ сложением.

• Иногда модулю отрицательного числа приписывают отрицательный знак, например считают, что |−4| = −4. Но модуль показывает расстояние до нуля, а расстояние всегда неотрицательно. Проверь себя: число и противоположное ему имеют одинаковый модуль, значит, |−4| = |4| = 4.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно складывать и вычитать числа, нужно уметь находить их координаты на числовой прямой, сравнивать числа и определять модуль. Эти знания объясняют, куда направлено перемещение и какое из них длиннее. Правила пригодятся при раскрытии скобок и упрощении числовых выражений, а также при решении уравнений. В задачах они помогают описывать изменения величин: например, повышение и понижение температуры или выигрыш и потерю очков.

Что запомнить

• Сложение чисел с одинаковыми знаками: сложить модули и сохранить знак.
• Сложение чисел с разными знаками: из большего модуля вычесть меньший.
• Знак суммы чисел с разными знаками совпадает со знаком слагаемого с большим модулем.
• Вычитание заменяется сложением противоположного числа.
• Сумма противоположных чисел равна нулю.
• Проверяй сложение вычитанием, а вычитание — сложением.