2.38. Множитель, произведение

Определения и обозначения

Множитель — число или выражение, участвующее в умножении. Например, в записи 6 · 8 оба числа являются множителями. Это понятие помогает понять, какие части нужно перемножить.

Произведение — результат умножения множителей. Если вычислить 6 · 8, получится 48, значит, 48 — произведение. Так называют и действие, и его запись, но в равенстве обычно имеют в виду именно результат.

В записи a · b = c числа или выражения a и b — множители, а c — произведение. Знак «=» показывает, что результат умножения первых двух элементов равен третьему. Такая запись позволяет сразу определить роль каждого числа.

Нулевой множитель — множитель, равный нулю. Например, в произведении 5 · 0 число 0 является нулевым множителем, а результатом становится 0. Это название напоминает о специальном правиле умножения на ноль.

Как это устроено

Умножение двух чисел обычно записывают с точкой: 3 · 4 = 12. Знак можно не писать, если запись остаётся понятной: 5a означает произведение числа 5 и буквы a, а 2(x + 1) — произведение 2 и выражения в скобках. Между двумя числами знак лучше сохранять: запись 95 означает одно число, а не произведение 9 и 5.

Произведение находят умножением множителей, потому что именно так определяется действие умножения. Например, 7 · 6 = 42: число 42 получилось из множителей 7 и 6. Проверить вычисление можно делением: 42 : 6 = 7 или 42 : 7 = 6, поэтому найденный результат согласуется с исходными множителями.

Если множители одинаковые, их можно записать короче с помощью степени. В произведении 7 · 7 число 7 повторяется два раза, поэтому пишут 7² и читают «семь в квадрате». Число 7 называют основанием степени, а маленькую 2 — показателем, который показывает число одинаковых множителей.

От перестановки множителей произведение не меняется: 3 · 4 = 12 и 4 · 3 = 12. Это можно увидеть на прямоугольной таблице из трёх рядов по четыре клетки: если считать клетки по рядам или по столбцам, их будет одинаковое количество. Поэтому a · b = b · a — это переместительное свойство умножения.

Произведение любого числа на ноль равно нулю. Например, 4 · 0 означает ноль групп по 4, а значит, предметов нет; запись 0 · 4 означает четыре группы по ноль предметов, и результат также равен нулю. Поэтому достаточно увидеть хотя бы один нулевой множитель, чтобы сразу записать результат 0.

Множители и произведение

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите знак умножения: стоящие слева от него числа являются множителями. Число после знака равенства — произведение. В строке с нулём видно, что нулевой множитель приводит к нулевому результату.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 6 · 8 и назовите множители и произведение. Сначала нужно выполнить действие, а затем сопоставить числа с их ролями в записи. Множители уже даны слева от знака равенства.

1. Вычисляем: 6 · 8 = 48.
2. Числа 6 и 8 называем множителями, потому что их перемножали.
3. Число 48 называем произведением, потому что оно получилось в результате умножения.

Ответ: 48; множители — 6 и 8, произведение — 48.

Задача 2. Запишите произведение чисел 9 и 5 без знака умножения там, где это допустимо, и вычислите его. Между двумя числовыми знаками умножения запись без точки становится неоднозначной: 95 — это уже число девяносто пять. Поэтому в данном случае точку сохраняем, а без знака можно записать, например, произведение 9 и выражения в скобках: 9(5).

1. Записываем понятный вариант: 9 · 5 = 45.
2. При желании используем скобки: 9(5) = 45, где соседство числа и скобок обозначает умножение.
3. Не заменяем произведение записью 95, так как она имеет другое значение.

Ответ: 9 · 5 = 45; вариант без точки — 9(5) = 45.

Задача 3. Найдите неизвестный множитель в равенстве x · 7 = 56 и проверьте ответ. Неизвестно первое число, а второй множитель и произведение известны. Обратное действие к умножению — деление, поэтому используем деление произведения на известный множитель.

1. Находим x: x = 56 : 7 = 8.
2. Подставляем найденное число в исходное равенство: 8 · 7 = 56.
3. Проверка верна, значит, неизвестный множитель найден правильно.

Ответ: x = 8.

Типичные ошибки

Иногда произведением называют один из множителей. Так происходит, когда путают число до знака равенства с результатом; нужно разобрать запись a · b = c и проверить, что произведение стоит справа от «=».

Некоторые считают, что после перестановки множителей результат изменится. Ошибка возникает из-за привычки воспринимать порядок чисел как важный; вычислите оба варианта, например 2 · 5 и 5 · 2, и сравните ответы.

При умножении на ноль иногда оставляют исходное число. Это связано с неверным представлением, будто ноль ничего не меняет, но правило даёт 8 · 0 = 0; наличие нулевого множителя нужно проверять первым.

Знак умножения бездумно убирают между двумя числами. Из-за этого 9 · 5 могут записать как 95, хотя значение изменилось; если без знака возникает неясность, точку ставить обязательно.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны смысл сложения и умножения натуральных чисел, а также умение читать математические записи. Умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых, поэтому это представление помогает понять нулевой множитель.

Множители и произведение понадобятся при изучении свойств умножения, деления и действий с выражениями. Умение находить неизвестный множитель напрямую связано с делением и решением равенств.

Произведение одинаковых множителей является основой записи степени. Поэтому равенство 7 · 7 = 7² подготавливает к изучению возведения в степень.

Что запомнить

• Множители — числа или выражения, которые перемножают.
• Произведение — результат умножения.
• В записи a · b = c числа a и b — множители, c — произведение.
• От перестановки множителей произведение не меняется.
• Если хотя бы один множитель равен нулю, произведение равно нулю.
• Неоднозначную запись умножения без знака использовать нельзя.