"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
При умножении на ноль произведение всегда равно нулю, а при умножении на единицу число не меняется. Эти правила помогают быстро выполнять вычисления и упрощать выражения, не считая произведение обычным способом. Они верны, когда ноль или единица стоят как первым, так и вторым множителем. Чтобы применять правила без ошибок, нужно различать множители и результат умножения — произведение — и помнить переместительное свойство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множитель — число, которое участвует в умножении. Например, в записи 4 · 0 множителями являются числа 4 и 0. Это понятие помогает понять, к какому числу относится правило: например, можно заметить, что один из множителей равен нулю.
Произведение — результат умножения. В записи 4 · 0 произведение равно 0. Различать множители и произведение нужно, чтобы правильно читать запись и понимать, что именно требуется найти при вычислении.
Умножение на ноль — умножение, в котором один из множителей равен нулю. При таком умножении произведение всегда равно нулю: например, 8 · 0 = 0. Это правило позволяет находить результат, не выполняя длинные вычисления.
Умножение на единицу — умножение, в котором один из множителей равен единице. Произведение при этом равно другому множителю: например, 1 · 8 = 8. Правило помогает сразу убрать лишнее действие, если в выражении есть единица.
Умножение можно понимать как сложение одинаковых слагаемых. Например, 3 · 4 означает взять число 4 три раза: 4 + 4 + 4. Если слагаемых нет, сумма равна нулю; если складывать одни нули, результат также будет нулём. Так становится понятным, почему умножение на ноль приводит к нулю.
Рассмотрим 5 · 0: это пять нулей, сложенных вместе, то есть 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Если записать 0 · 5, ноль показывает, что слагаемых нет, поэтому сумма тоже равна нулю. Значит, порядок множителей не меняет ответ, и в обоих случаях получается 0. Это верно для любого натурального числа и для нуля.
При умножении на единицу число берётся только один раз. Например, 1 · 6 можно представить как одно слагаемое 6, поэтому результат — 6, а не 1. Если записать 6 · 1, число 1 складывается шесть раз: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6. В обоих случаях произведение равно 6.
Для любого числа a правила записывают так: 0 · a = 0 и a · 0 = 0, а также 1 · a = a и a · 1 = a. Равенство результатов при перестановке множителей связано с переместительным свойством умножения: от перестановки множителей произведение не меняется. Поэтому достаточно запомнить правило для одного порядка, но полезно уметь узнавать оба. Буква a здесь обозначает натуральное число или ноль.
Правила работают с натуральными числами и нулём, в том числе когда оба множителя — ноль или единица. При вычислениях заменяй произведение с нулём на 0, а произведение с единицей — на оставшийся множитель. Например, в выражении 1 · 12 + 3 · 0 сначала получаются 12 и 0, затем выполняется сложение. Такой приём упрощает выражение и помогает избежать ненужных действий.
В таблице собраны четыре случая: ноль или единица могут стоять на первом либо на втором месте. Сначала найди множитель, который равен нулю или единице, затем примени соответствующее правило. Примеры показывают, что перестановка множителей не изменяет произведение.
| Случай | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Первый множитель равен нулю | 0 · a = 0 | 0 · 7 = 0 |
| Второй множитель равен нулю | a · 0 = 0 | 7 · 0 = 0 |
| Первый множитель равен единице | 1 · a = a | 1 · 7 = 7 |
| Второй множитель равен единице | a · 1 = a | 7 · 1 = 7 |
Задача 1. Вычислите 7 · 0 и 0 · 7. В каждом произведении есть множитель, равный нулю. Поэтому можно применить правило умножения на ноль, не считая сумму одинаковых слагаемых.
Ответ: 7 · 0 = 0; 0 · 7 = 0.
Задача 2. Найдите значение выражения 1 · 38 + 6 · 0. Сначала упростим оба произведения, потому что умножение выполняется раньше сложения. Первое произведение содержит множитель 1, а во втором есть множитель 0.
Ответ: 38.
Задача 3. Вычислите 25 · 1 + 14 · 0 − 1 · 9. Здесь есть сложение и вычитание, но прежде нужно выполнить умножение. Упростим каждое произведение отдельно, а затем посчитаем полученное выражение слева направо.
Ответ: 16.
Ошибка: считать, что при умножении на ноль число сохраняется, например записывать 7 · 0 = 7. Так путают умножение на ноль с умножением на единицу: число остаётся прежним только при умножении на 1. Проверь себя по правилу: если среди множителей есть 0, произведение должно быть 0.
Ошибка: полагать, что 0 · a и a · 0 дают разные результаты. Такое впечатление возникает, если запомнить только один порядок множителей или перепутать умножение с другим действием. Переставь множители по переместительному свойству: оба выражения окажутся одинаковыми и будут равны нулю.
Ошибка: записывать 1 · a = 1. Единицу принимают за ответ, потому что она стоит рядом со знаком умножения, но результатом является второй множитель. Для проверки подставь число, например 1 · 6 = 6, и сверься с правилом: при умножении на единицу число не меняется.
Ошибка: переносить на умножение вывод о сложении с нулём. При сложении a + 0 получается a, но умножение — другое действие, и a · 0 равно 0. Чтобы не спутать правила, проверяй знак действия в выражении и мысленно замени умножение на ноль сложением нулей.
Чтобы применять эти правила, нужно понимать запись умножения, различать множители и произведение, а также знать переместительное свойство. Оно объясняет, почему результат не зависит от порядка множителей. Если эти понятия знакомы, можно быстро определять, какой множитель задаёт правило.
Умножение на ноль и единицу пригодится в устных и письменных вычислениях, а также при упрощении выражений. Позже те же знания помогут работать со свойствами арифметических действий. Навык сначала упрощать такие произведения делает вычисления короче и снижает вероятность ошибки.
Почему любое число, умноженное на ноль, равно нулю?
При умножении можно представить, что одно и то же число складывают несколько раз. Если складываемых чисел ноль или каждое слагаемое равно нулю, сумма равна нулю. Поэтому произведение любого числа на ноль равно нулю.
Меняется ли ответ, если ноль поставить первым множителем?
Нет, результат не меняется: 0 · a = a · 0 = 0. По переместительному свойству множители можно менять местами, не изменяя произведение.
Почему умножение на единицу не меняет число?
При умножении на единицу число берётся ровно один раз. Значит, результатом будет само это число: 1 · a = a и a · 1 = a.
Чему равно произведение нуля и единицы?
Оно равно нулю: 0 · 1 = 0. Здесь один из множителей равен нулю, поэтому действует правило умножения на ноль.
Можно ли в выражении сначала заменить произведения с нулём и единицей?
Да, такие произведения можно сразу заменить их значениями: например, a · 0 — на 0, а 1 · b — на b. Затем оставшиеся действия выполняют с учётом порядка действий.
2.40. Умножение с нулём и единицей
