"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Кратное сравнение помогает узнать, сколько раз одна положительная величина содержится в другой. Для этого большее число делят на меньшее: например, 12 : 3 = 4, значит, 12 в 4 раза больше 3, а 3 в 4 раза меньше 12. Такой способ нужен, когда сравнивают количества, длины и другие величины. Главное — не путать вопрос «во сколько раз?» с вопросом «на сколько?»: в первом случае делят, во втором вычитают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кратное сравнение — сравнение двух величин делением, которое показывает, во сколько раз одна величина больше или меньше другой. Иными словами, мы выясняем не разницу между величинами, а сколько раз одна укладывается в другой. Это понятие нужно, чтобы сравнивать количества и измерения, когда важна именно величина отношения.
Вопрос «во сколько раз больше» означает: сколько раз меньшее положительное число содержится в большем. Чтобы ответить, большее число делят на меньшее. Например, если в одной группе предметов больше, частное покажет, сколько таких же групп помещается в этом количестве.
Вопрос «во сколько раз меньше» тоже связан с тем, сколько раз меньшее число содержится в большем. Делят большее на меньшее, но в ответе называют величину, которая меньше. Это правило помогает не менять числа местами из-за формулировки вопроса.
Отношение двух чисел — частное этих чисел. При кратном сравнении оно показывает, во сколько раз одно число отличается от другого. Отношение удобно использовать, чтобы выражать сравнение одним числом, а не разностью двух величин.
Чтобы кратно сравнить две положительные величины, сначала находят меньшую и большую. Затем большую делят на меньшую: деление показывает, сколько раз меньшая величина содержится в большей. Если взять меньшую величину несколько раз, то нужное число повторений и будет частным.
Например, сравним 12 и 3. В числе 12 содержатся четыре тройки, поэтому 12 : 3 = 4; значит, 12 в 4 раза больше 3. В обратной формулировке получаем: 3 в 4 раза меньше 12, потому что та же тройка помещается в двенадцати четыре раза.
Кратное сравнение отвечает на вопрос «во сколько раз?», а сравнение разностью — на вопрос «на сколько?». Для чисел 12 и 3 разность равна 12 − 3 = 9, то есть 12 больше 3 на 9. Частное равно 12 : 3 = 4 и показывает число раз, а не число недостающих единиц.
Ответ на вопрос «во сколько раз?» записывают числом, без единицы измерения. Если сравнивают, например, длины, выраженные в сантиметрах, обозначения сантиметров при делении сокращаются. Но если исходные величины записаны в разных единицах, сначала переводят одну из них так, чтобы единицы совпали.
Деление при сравнении возможно только тогда, когда делитель не равен нулю. Ноль не может быть меньшей положительной величиной, содержащейся в другой величине какое-то число раз: деление на ноль не определено. Поэтому в этой теме сравнивают положительные числа или величины.
| Что требуется узнать | Действие | Что показывает ответ |
|---|---|---|
| На сколько A больше B | A − B | Разность, на которую A больше B |
| Во сколько раз A больше B | A : B | Число раз, которое B содержится в A |
| На сколько B меньше A | A − B | Разность, на которую B меньше A |
| Во сколько раз B меньше A | A : B | Число раз, которое B содержится в A |
Сначала прочитайте вопрос и решите, требуется найти разность или число раз. Затем расположите числа в нужном порядке: при кратном сравнении делят большее на меньшее. Если A и B — величины, перед действием проверьте, что они выражены в одинаковых единицах.
Задача: в одной коробке 12 карандашей, в другой — 3. Во сколько раз в первой коробке карандашей больше? Здесь спрашивают число раз, поэтому вычитать количество карандашей не нужно. Сравниваем большее количество с меньшим.
Задача: длина ленты 24 см, а длина отрезка 6 см. Во сколько раз лента длиннее отрезка и во сколько раз отрезок короче ленты? Обе длины уже выражены в сантиметрах, значит, можно сразу выполнить деление. В обоих вопросах сравниваются одни и те же величины, поэтому частное будет одинаковым.
Задача: в первой библиотеке 180 книг, во второй — 45. На сколько книг и во сколько раз в первой библиотеке книг больше? В условии заданы два разных вопроса, поэтому понадобятся два действия. Сначала найдём разность, а затем — отношение большего количества к меньшему.
Ответ: на 135 книг и в 4 раза.
Ошибка: вычитать числа, отвечая на вопрос «во сколько раз». Так поступают, потому что оба способа сравнения начинаются с поиска различия между величинами. Проверьте формулировку: разность отвечает на вопрос «на сколько», а если нужно узнать число раз, следует разделить большее на меньшее.
Ошибка: делить меньшее число на большее. Это случается, когда ученик смотрит на порядок чисел в условии, а не определяет, какое из них больше. Перед вычислением подпишите числа словами «большее» и «меньшее» и проверьте, что делимое — большее число.
Ошибка: путать вопросы «во сколько раз больше» и «на сколько больше». Они похожи по звучанию, но требуют разных действий: деления и вычитания соответственно. Самопроверка простая: найдите в вопросе слова «раз» или «на сколько» и свяжите их с нужным действием.
Ошибка: указывать в ответе единицу измерения или делить величины в разных единицах без перевода. Это возможно, если забыть, что при отношении одинаковые единицы сокращаются. Проверьте обозначения: перед делением они должны совпадать, а в ответе на вопрос «во сколько раз?» остаётся только число.
Для кратного сравнения нужно уметь делить натуральные числа и определять, какое из двух чисел больше. Знание единиц длины, массы и времени помогает сначала переводить величины к одинаковым единицам. Отношения используются в задачах на масштаб и на нахождение неизвестного числа по известной части. Поэтому деление здесь становится способом сравнивать не только числа, но и реальные величины.
Как понять, что в задаче нужно делить, а не вычитать?
Если спрашивают «во сколько раз?», нужно найти отношение величин и выполнить деление. Если спрашивают «на сколько?», нужно найти разность и выполнить вычитание.
Какое число делить на какое, если спрашивают «во сколько раз больше»?
Сначала определите, какое число больше. Затем разделите большее число на меньшее: полученное частное покажет, во сколько раз первое число больше второго.
Почему ответы на вопросы «во сколько раз больше» и «во сколько раз меньше» могут быть одинаковыми?
В обоих случаях сравнивают одну и ту же пару чисел и делят большее на меньшее. Меняется только формулировка: большее число больше меньшего во столько же раз, во сколько меньшее число меньше большего.
Нужно ли указывать единицы измерения в ответе?
Нет, ответ на вопрос «во сколько раз?» — число без единицы измерения. При делении величин в одинаковых единицах обозначения сокращаются.
Можно ли сравнивать величины, если они записаны в разных единицах?
Можно, но сначала нужно перевести их в одинаковые единицы. Например, для сравнения метров и сантиметров одну величину следует выразить в тех же единицах, что и другую.
2.78. Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?
