"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Текстовая задача описывает ситуацию, где по известным данным нужно найти неизвестную величину. Чтобы решить её, недостаточно выбрать действие наугад: нужно понять условие и вопрос, установить связи между величинами и записать их в виде схемы, выражения или уравнения. Такая запись называется математической моделью. Она помогает организовать решение, а проверка показывает, подходит ли результат к ситуации и отвечает ли он на вопрос задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину. Например, известно, сколько предметов было и сколько осталось, а требуется выяснить, сколько взяли. Это понятие помогает увидеть в обычном рассказе вопрос, который можно решить с помощью математики.
Условие задачи — сведения о величинах и связях между ними, которые даны в тексте. К условию относятся числа, единицы измерения и такие отношения, как «на 5 больше» или «в 2 раза меньше». Выделив условие, легче не перепутать, что уже известно, а что предстоит найти.
Требование задачи — вопрос о том, что именно нужно найти или доказать. Оно может спрашивать об одной величине или о нескольких, поэтому его следует прочитать отдельно от остальных данных. Это помогает не подменить ответ промежуточным результатом.
Математическая модель задачи — запись условия и связей между величинами с помощью выражений, схемы или уравнения. Например, связь между общим количеством, взятой частью и остатком можно изобразить схемой или записать равенством. Модель нужна, чтобы перейти от рассказа к понятному плану вычислений.
Сначала прочитай задачу целиком и выясни, о каких предметах и величинах говорится. Не спеши выполнять действие после первого знакомого слова: оно может относиться к связи, которую нужно понять в контексте. Повторное чтение помогает заметить все числа, единицы измерения и условия. Так меньше вероятность пропустить деталь, от которой зависит решение.
Затем раздели данные и вопрос: выпиши, что известно, и обозначь, что нужно найти. Это полезно, потому что в одном предложении могут быть смешаны несколько чисел и отношений, а требование находится в конце текста. Сопоставь каждую величину с её единицей и ролью в ситуации. Когда неизвестное названо, становится понятнее, какие данные могут помочь его определить.
Чтобы увидеть отношения между величинами, сделай краткую запись, схему или таблицу. Например, расположи рядом первоначальное количество, изменение и остаток: такое представление показывает, как части связаны с целым. Запись особенно помогает, если в задаче несколько предметов или действий. По ней легче выбрать действие либо понять, что нужно составить уравнение.
Математическая модель должна сохранять смысл условия, поэтому неизвестную величину обозначают буквой, а связи записывают выражением или равенством. Если величина повторяется несколько раз, буква помогает записать её последовательно и не спутать с другими данными. Например, три одинаковые цены можно представить как 3x. Перед вычислениями проверь, что каждое слагаемое или действие соответствует словам задачи.
После вычислений или решения уравнения подставь результат в исходные отношения и проверь, согласуется ли он с данными. Это позволяет обнаружить ошибку в вычислении или неверно составленной модели. Затем сверь найденную величину с требованием: ответом должно быть именно то, о чём спрашивали. Запиши его словами или числом с нужной единицей измерения.
| Этап | Что сделать | На какой вопрос ответить |
|---|---|---|
| Понять условие | Прочитать задачу и выяснить, о каких величинах идёт речь | Что происходит в задаче? |
| Выделить данные и вопрос | Отметить известные величины и неизвестную | Что известно и что требуется найти? |
| Представить связи между величинами | Сделать краткую запись, схему или таблицу | Как величины связаны? |
| Составить математическую модель | Записать связи выражением или уравнением | Как описать условие математически? |
| Выполнить вычисления или решить уравнение | Найти неизвестную величину | Каково её значение? |
| Проверить результат и записать ответ | Сопоставить решение с условием и вопросом | Подходит ли результат и что записать в ответе? |
Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему этапу, когда понятно, что получилось на предыдущем. Если не удаётся составить модель, вернись к условию и проверь связи между величинами. После решения обязательно пройди последний этап, даже если вычисления кажутся простыми.
Задача 1. В коробке было 18 карандашей. Несколько карандашей взяли, и осталось 11. Сколько карандашей взяли? Здесь известны первоначальное количество и остаток, а неизвестно, сколько предметов убрали. Значит, из целого количества нужно вычесть оставшуюся часть.
Ответ: взяли 7 карандашей. Уравнение помогло выразить неизвестное количество, а проверка подтвердила, что остаток совпадает с данным в задаче. Важно, что ответом стало количество взятых карандашей, а не число оставшихся.
Задача 2. Купили 3 одинаковые тетради и ручку за 20 рублей. Вся покупка стоила 80 рублей. Сколько стоит одна тетрадь? Неизвестна цена одной тетради, а общая стоимость складывается из цены трёх тетрадей и цены ручки. Поэтому обозначим цену тетради буквой и запишем общую стоимость равенством.
Ответ: одна тетрадь стоит 20 рублей. При проверке мы подставили найденную цену в выражение для всей покупки и получили указанную в условии сумму. Результат отвечает именно на вопрос о цене одной тетради, а не о стоимости всех тетрадей.
Задача 3. В двух коробках 54 детали. В первой коробке деталей в 2 раза больше, чем во второй. Сколько деталей в каждой коробке? Количества связаны отношением «в 2 раза», поэтому удобно выразить оба через одну неизвестную. После этого их сумма должна равняться 54.
Ответ: в первой коробке 36 деталей, во второй — 18. Проверка нужна для обеих связей: общего количества и отношения между коробками. Так убеждаемся, что найденные числа вместе образуют решение задачи.
Первая ошибка — начинать считать, не выяснив вопрос задачи. Тогда можно верно найти промежуточную величину, но принять её за ответ. Так поступают, когда торопятся и обращают внимание только на числа. Перед решением сформулируй, что именно нужно найти, а после проверь, отвечает ли вычисление на этот вопрос.
Вторая ошибка — составлять выражение или уравнение, не проверив смысл связей между величинами. Например, слова «в 2 раза больше» можно ошибочно принять за «на 2 больше», потому что в обоих случаях сравниваются количества. Чтобы проверить себя, проговори, что означает каждое действие, и сопоставь модель с текстом задачи. Если запись описывает другую ситуацию, пересоставь её до вычислений.
Третья ошибка — считать любое найденное число готовым ответом. Число может оказаться промежуточным значением или не подходить к одному из условий, если в решении допущена ошибка. Это часто происходит, когда после вычислений сразу заканчивают работу. Подставь результат в связи из условия и сравни его с тем, о чём спрашивается.
Четвёртая ошибка — записывать ответ без единицы измерения или не в той форме, о которой спрашивается. Число 20 само по себе не поясняет, что найдено: рублей, тетрадей или метров. Это случается, если единицы не отмечали при чтении условия. Перед записью ответа назови величину и добавь подходящую единицу, если она нужна.
Для решения текстовых задач нужны навыки чтения условия, арифметические действия и понимание математических обозначений. Если эти основы усвоены, проще перевести сюжет в выражение или уравнение. Умение составлять модель пригодится дальше при решении задач с помощью уравнений, при работе с дробями и разными величинами. Оно также помогает разбираться в геометрических задачах, где требуется связать данные и найти неизвестный размер.
Зачем перечитывать условие, если оно уже прочитано один раз?
При первом чтении можно заметить сюжет, но пропустить число, единицу измерения или важную связь между величинами. Повторное чтение помогает отделить известные данные от вопроса и понять, что именно требуется найти.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала установи, как связаны известные величины и неизвестная, а не выбирай действие по отдельному слову из условия. Краткая запись, схема или вопрос «что известно и что требуется найти?» помогут определить нужный шаг.
Когда при решении задачи удобно составить уравнение?
Уравнение удобно, если в задаче есть неизвестная величина и её связь с другими величинами можно записать с помощью равенства. Обозначь неизвестное буквой, вырази через неё остальные данные и составь равенство по условию.
Как проверить, что полученный результат подходит к условию?
Подставь найденное значение в исходные связи и проверь, выполняются ли они. Затем сравни результат с вопросом задачи: он должен отвечать именно на него и иметь подходящий смысл.
Нужно ли записывать единицу измерения в ответе?
Да, если в задаче величина измеряется в штуках, рублях, метрах или других единицах, укажи её в ответе. Без единицы число часто не показывает, что именно найдено.
1.34. Решение задач
