1.35. Доли

Определения и обозначения

Доля — одна из равных частей целого. Например, если яблоко разделили на четыре одинаковые части, каждая часть является долей яблока. Равенство нужно потому, что только тогда части описываются одним и тем же числом и их можно сравнивать.

Знаменатель — число равных частей, на которые разделили целое. В дроби он записывается внизу: в записи 3/5 знаменатель равен 5. Он помогает понять, какого размера одна доля.

Числитель — число частей, взятых от целого. Он записывается вверху дроби: в 3/5 числитель равен 3. По нему узнают, сколько одинаковых долей рассматривают.

Дробь — запись, показывающая, сколько равных долей взято. Дробь связывает деление целого на части и выбор нескольких таких частей: запись m/n означает, что целое разделили на n частей и взяли m из них.

Как это устроено

Чтобы получить доли, целое сначала делят на равные части. Например, полоску можно разделить на четыре одинаковых отрезка, а круг — на четыре одинаковых сектора. Если части различаются по размеру, одна из них уже не является такой же долей, как другая, поэтому говорить о четырёх равных долях нельзя.

Название доли связано с числом частей, на которые разделили целое. При делении на две равные части получают половину, на три — треть, на четыре — четверть. Поэтому в записях 1/2, 1/3 и 1/4 знаменатели равны соответственно 2, 3 и 4: они сообщают, сколько одинаковых частей образовалось.

Одну долю записывают дробью 1/n, где n — число всех равных частей. Если берут не одну, а несколько долей, в числителе указывают их количество: 3/7 означает три доли из семи. Знаменатель при этом остаётся прежним, потому что размер каждой доли не меняется.

Найти одну долю величины значит разделить всю величину на число равных частей. Если величина равна A, а знаменатель равен n, размер одной доли находят так: A : n. Деление подходит потому, что вся величина состоит из n одинаковых частей, и нужно узнать размер одной из них.

Чтобы найти несколько долей, сначала определяют размер одной доли делением, а затем берут нужное число таких долей. Если числитель равен m, используют правило A : n · m. Умножение нужно потому, что одинаковый размер одной доли повторяется m раз.

Дробь и доли целого

Таблица помогает различать назначение числителя и знаменателя и выбирать правильное действие. Сначала найдите в условии число всех частей, затем — число частей, которые нужно взять.

Разбор задач

Задача 1. Круг разделили на 4 равные части. Как называется одна такая часть и как её записать? Нужно определить число всех частей: оно равно 4, поэтому именно оно станет знаменателем. Поскольку рассматривают только одну часть, числитель будет равен 1.

1. Круг разделён на 4 равные части, значит одна часть — это одна четверть.
2. Записываем одну взятую долю дробью 1/4.

Ответ: одна часть называется четвертью и записывается 1/4. Такая запись показывает, что целое разделили на четыре равные части и взяли одну.

Задача 2. Найти одну треть от 24 см. Слово «треть» подсказывает знаменатель 3: длину разделили на три равные части. Так как требуется одна часть, достаточно выполнить одно деление.

1. Находим длину одной доли: 24 : 3 = 8 см.
2. Проверяем результат: 8 · 3 = 24 см, значит три равные доли действительно составляют всю длину.

Ответ: одна треть от 24 см равна 8 см.

Задача 3. Найти три четверти от 36 кг. Слово «четверти» означает, что целое разделили на четыре равные части, а числитель 3 показывает, сколько частей нужно взять. Поэтому сначала находим одну четверть, а затем повторяем её три раза.

1. Находим одну четверть: 36 : 4 = 9 кг.
2. Находим три четверти: 9 · 3 = 27 кг.
3. Проверяем смысл ответа: оставшаяся четверть равна 9 кг, а 27 + 9 = 36 кг.

Ответ: три четверти от 36 кг равны 27 кг.

Типичные ошибки

Неравные части называют долями. Так происходит, когда смотрят только на количество частей и не проверяют их размер. Проверьте, можно ли совместить части или сравнить их длины: для долей они должны быть одинаковыми.

Путают числитель и знаменатель. Обычно забывают, что нижнее число относится ко всему разделению, а верхнее — к выбранным частям. Прочитайте дробь слева направо словами: в 3/5 пять частей всего и три из них взяли.

Вместо деления умножают при нахождении одной доли. Такая ошибка появляется, если воспринимать число частей как множитель, хотя нужно уменьшить целое до размера одной части. Спросите себя: результат одной доли должен быть меньше исходной величины, значит первым действием обычно будет деление на знаменатель.

Забывают умножить на числитель при нахождении нескольких долей. В результате находят только одну долю, хотя требуется две, три или больше. Проверьте, соответствует ли ответ числу взятых частей: после нахождения одной доли умножьте её размер на числитель.

Связь с другими темами

До изучения долей нужно уметь делить числа и величины на равные части, а также понимать связь деления с умножением. Проверка умножением помогает убедиться, что найденные равные доли составляют исходное целое.

Доли служат основой для обыкновенных дробей. Позже с их помощью сравнивают части, выполняют действия с дробями и решают задачи на нахождение части величины.

Доли встречаются в измерениях и обычной жизни: предмет делят на части, находят половину пути, треть часа, четверть килограмма или несколько долей длины. Поэтому правило работает не только с числами, но и с сантиметрами, килограммами и временем.

Что запомнить

• Доли образуются при делении целого на равные части.
• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое.
• Числитель показывает, сколько долей взяли.
• Одну долю величины находят делением на знаменатель.
• Чтобы найти несколько долей, размер одной доли умножают на числитель.