2.19. Высказывания со словами все, не все, никакие, любой, каждый

Определения и обозначения

Высказывание со словом «все» утверждает, что указанным свойством обладает каждый объект рассматриваемого множества. Например, фраза «все числа множества чётные» относится к каждому числу в этом множестве. Такое слово нужно, чтобы задать общее правило и проверить, не осталось ли исключений.

Высказывание со словами «не все» означает, что хотя бы один объект не обладает указанным свойством. При этом другие объекты могут обладать им: например, среди нескольких чисел некоторые могут делиться на 2, а некоторые — нет. Это выражение полезно, когда нужно сообщить о наличии хотя бы одного исключения.

Высказывание со словом «никакие» утверждает, что ни один объект множества не обладает указанным свойством. Например, «никакие числа из множества не делятся на 2» означает, что это верно для каждого числа в нём. Такое слово помогает выразить полное отсутствие объектов с нужным свойством.

Слова «любой» и «каждый» указывают на все объекты рассматриваемого множества и обычно выражают то же требование, что и слово «все». Фраза «каждое чётное число делится на 2» относится не к одному выбранному числу, а ко всем чётным числам. Эти слова нужны, чтобы сформулировать правило для произвольного объекта множества.

Как это устроено

В высказывании со словом «все» истинность зависит от каждого элемента выбранного множества. Поэтому сначала нужно точно понять, какие объекты рассматриваются, а затем проверить свойство у каждого из них. Если найден хотя бы один объект, который не подходит, общий вывод неверен: такой объект называют контрпримером. Одного контрпримера достаточно, потому что слова «все» не допускают исключений.

У выражения «не все обладают свойством» другой смысл: оно сообщает о существовании исключения. Чтобы подтвердить такое высказывание, достаточно найти один объект без свойства, потому что именно его наличие и утверждается. Нельзя делать вывод, что свойством не обладает никто: это было бы более сильное утверждение. Например, если несколько чисел нечетные, а одно чётное, верно, что не все они нечетные, но неверно, что ни одно из них нечетное.

Слово «никакие» тоже не допускает исключений, но утверждает отсутствие объектов с данным свойством. Проверка устроена так: нужно убедиться, что ни один элемент множества не обладает свойством. Если хотя бы один подходящий элемент нашёлся, исходное высказывание опровергнуто. Причина в том, что даже один такой объект противоречит слову «никакие».

Слова «любой» и «каждый» заставляют рассматривать произвольный объект множества, а не только удобный или знакомый пример. Утверждение с таким словом должно оставаться верным при выборе любого элемента. Поэтому несколько удачных проверок могут помочь заметить закономерность, но сами по себе не доказывают общее утверждение. Для опровержения, напротив, достаточно предъявить один объект, для которого оно не выполняется.

Отрицание меняет смысл утверждения на противоположный, а не просто заменяет одно слово любым другим. Отрицание фразы «все обладают свойством» — «не все обладают свойством»: достаточно существования объекта без свойства. Отрицание фразы «никакие не обладают свойством» — «хотя бы один обладает свойством». Такая замена точна, потому что исключает ровно те случаи, в которых исходное высказывание было истинным.

Слова в высказываниях: смысл и проверка истинности

Сначала найдите в таблице слово, которое задаёт охват объектов: один ли объект, все или хотя бы одно исключение. Затем сопоставьте с ним условие истинности. В каждом примере смысл зависит от множества чисел, о котором говорится.

Разбор задач

Задача 1. Определить истинность высказываний «Все числа 2, 4, 6 делятся на 2» и «Не все числа 2, 4, 6 делятся на 2». Нужно проверить каждый элемент множества и не смешивать утверждение обо всех числах с утверждением о наличии исключения. Решим по шагам.

1. Проверим 2: оно делится на 2.
2. Проверим 4: оно делится на 2.
3. Проверим 6: оно также делится на 2, значит, исключения нет.
4. Первое высказывание истинно, а второе ложно: среди этих чисел не нашлось числа, которое не делится на 2.

Ответ: первое высказывание истинно, второе ложно. Мы проверили весь заданный набор, поэтому вывод относится именно к числам 2, 4 и 6.

Задача 2. Сформулировать отрицание высказывания «Каждый ученик класса решил задачу» и определить, что нужно проверить, чтобы оно было истинным. Слово «каждый» означает, что задача должна быть решена всеми учениками. Отрицание должно указать, что это условие нарушено хотя бы для одного человека.

1. Заменим утверждение о каждом ученике на «не все ученики решили задачу».
2. Чтобы проверить истинность отрицания, поищем ученика, который задачу не решил.
3. Если такой ученик найден, отрицание истинно, а исходное утверждение ложно.
4. Если задачу решили все ученики, отрицание ложно, а исходное утверждение истинно.

Ответ: «Не все ученики класса решили задачу». Для истинности достаточно найти одного ученика, который её не решил; проверять, не решил ли задачу каждый ученик, не требуется.

Задача 3. Для множества чисел 1, 3, 5, 7 оценить высказывание «Никакие числа из множества не являются простыми» и записать его отрицание. Простое число — натуральное число, большее 1, у которого ровно два делителя: 1 и само число. Проверим элементы множества, чтобы найти возможный контрпример.

1. Число 1 не является простым.
2. Числа 3, 5 и 7 простые, поэтому уже одного из них достаточно, чтобы опровергнуть слово «никакие».
3. Исходное высказывание ложно: в множестве есть простые числа.
4. Запишем отрицание как «Некоторые числа из множества являются простыми», или «Хотя бы одно число из множества является простым».

Ответ: исходное высказывание ложно, а его отрицание истинно. Здесь слово «некоторые» означает наличие хотя бы одного объекта с указанным свойством.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что «не все» означает «ни один». Так путают наличие исключения с полным отсутствием свойства, хотя при «не все» часть объектов может обладать им. Проверьте себя: найдётся ли хотя бы один объект без свойства, и есть ли среди остальных объекты со свойством.

• Ошибка — объявлять высказывание со словом «все» истинным после проверки нескольких примеров. Удачные примеры не исключают, что среди непроверенных объектов есть исключение. Уточните границы множества и проверьте каждый его элемент либо используйте доказательство общего правила.

• Ошибка — отрицать фразу «все обладают свойством» словами «никто не обладает свойством». Такое отрицание слишком сильное: исходная фраза может быть ложной, даже если свойством обладают многие объекты. Правильная проверка — найти хотя бы один объект без свойства, то есть установить, что не все им обладают.

• Ошибка — не указывать, о каком множестве идёт речь. Одно и то же высказывание может быть истинным для одного набора объектов и ложным для другого. Перед проверкой назовите множество и убедитесь, что каждый пример или контрпример принадлежит именно ему.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать такие высказывания, нужно уметь отличать высказывание от вопроса и определять, истинно ли оно на конкретном примере. Слова «все», «не все» и «никакие» связаны с множествами: множество задаёт объекты, к которым относятся слова. Умение строить отрицания пригодится при изучении логических рассуждений и доказательств. Оно помогает точно показать, что именно требуется подтвердить или опровергнуть.

Что запомнить

• «Все» означает: свойством обладает каждый объект множества.
• «Не все» означает: найдётся хотя бы один объект без указанного свойства.
• «Никакие» означает: ни один объект не обладает указанным свойством.
• «Любой» и «каждый» относятся ко всем объектам рассматриваемого множества.
• Одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение со словами «все», «любой» или «каждый».
• Отрицание утверждения «все обладают свойством» — «не все обладают свойством».
• Отрицание утверждения «никакие не обладают свойством» — «хотя бы один обладает свойством».