"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Умножение и деление трёхзначных чисел помогают выполнять вычисления без длинных устных рассуждений. При умножении число удобно разложить на сотни, десятки и единицы, а при делении — последовательно обработать разряды слева направо. Запись столбиком сохраняет разрядный порядок и помогает не потерять переносы. Результат можно проверить обратным действием; при делении с остатком нужно дополнительно убедиться, что остаток меньше делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разрядное слагаемое — часть числа, показывающая количество сотен, десятков или единиц. Например, 324 = 300 + 20 + 4: число состоит из трёх сотен, двух десятков и четырёх единиц. Такое представление помогает выполнять умножение по частям и видеть, к какому разряду относится каждая цифра.
Письменное умножение — способ записать умножение столбиком и вычислять произведение по разрядам. Сначала находят произведения единиц, десятков и сотен, учитывая переходы между разрядами. Запись нужна, чтобы не потерять отдельные части результата и правильно сложить их.
Неполное делимое — часть делимого, которую рассматривают на очередном шаге письменного деления. Её составляют из оставшегося после вычитания числа и следующей цифры делимого, приписанной справа. Так учитываются цифры по порядку, а деление продолжается с того разряда, который ещё не обработан.
Остаток — число, которое остаётся после того, как из делимого выделили максимально возможное целое число групп делителя. При правильном делении с остатком остаток меньше делителя. Это условие показывает, что из оставшегося числа уже нельзя выделить ещё одну целую группу.
Трёхзначное число удобно умножать, разложив его на сотни, десятки и единицы, потому что каждая часть имеет понятное значение. Например, в 324 умножают на число отдельно 300, 20 и 4, а затем складывают результаты. Это соответствует распределительному свойству умножения: 324 · 3 = 300 · 3 + 20 · 3 + 4 · 3. Так проще проследить, откуда получилась каждая часть ответа.
При записи столбиком множители располагают так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки — под десятками, а сотни — под сотнями. Умножение начинают с единиц: если результат содержит десятки, их нельзя записать в разряд единиц, поэтому десятки переносят к следующему разряду. Затем учитывают перенос при умножении десятков, а после — сотен. Благодаря этому все части произведения попадают в нужные разряды.
Письменное деление начинают со старшего разряда, потому что делимое читают слева направо и сначала выясняют, сколько раз делитель помещается в его начальной части. Найдя цифру частного, её умножают на делитель и вычитают произведение из текущего неполного делимого. Вычитание показывает, сколько ещё осталось распределить на этом шаге. Выбранная цифра должна быть наибольшей, при которой произведение не превосходит неполное делимое.
Если после вычитания остались единицы текущего шага, к ним приписывают очередную цифру делимого. Так получают новое неполное делимое и переходят к следующему разряду. Приписывание цифры не случайное действие: она показывает следующую часть исходного числа, которую ещё предстоит разделить. Если текущая часть меньше делителя, из неё нельзя получить целую группу, поэтому в частном на этом месте может понадобиться ноль.
Проверка обратным действием помогает обнаружить ошибку в вычислении. Произведение делят на один из множителей: должен получиться второй множитель. Частное без остатка умножают на делитель, а при делении с остатком к этому произведению прибавляют остаток. В последнем случае равенство должно восстановить делимое, а сам остаток должен быть меньше делителя.
| Что сравниваем | Умножение | Деление |
|---|---|---|
| С чего начинают вычисление | С единиц, затем переходят к десяткам и сотням. | Со старшего разряда делимого. |
| Как выполняют действия по разрядам | Умножают цифры по порядку разрядов, учитывая перенос. | На каждом шаге находят цифру частного и вычитают произведение. |
| Как записывают и учитывают перенос или остаток | Перенос добавляют к следующему разряду. | Остаток соединяют со следующей цифрой делимого. |
| Как проверяют результат | Делят произведение на один из множителей. | Умножают частное на делитель; при остатке его прибавляют. |
Сравнивай не только направление вычислений, но и то, как каждое действие связывает соседние разряды. В умножении перенос влияет на следующий разряд, а в делении к остатку присоединяют следующую цифру. Последняя строка подсказывает, какое обратное действие выбрать для проверки.
Разложим 324 на разрядные слагаемые, чтобы отдельно увидеть единицы, десятки и сотни. При вычислении столбиком начнём с единиц и будем переносить десятки в следующий разряд. Это поможет учесть всё произведение, а не только цифры, полученные при умножении.
Ответ: 972. Проверка: 972 : 3 = 324, значит, произведение найдено верно.
Деление начнём с сотен: их достаточно, чтобы разделить на 3. После каждого шага будем вычитать выделенную часть и приписывать к остатку следующую цифру. Так формируются цифры частного по порядку.
Ответ: 312. Обратное умножение восстановило делимое, поэтому проверка подтверждает вычисление.
Число 7 не помещается в 7 сотен целое число раз, но 72 десятка делятся на 7. Поэтому сначала рассматриваем первые две цифры, затем продолжаем деление с единицами. В конце отдельно проверим частное и остаток.
Ответ: 104. Остаток равен нулю, поэтому деление оказалось без остатка; равенство проверки верно.
Если при записи столбиком цифры разных разрядов стоят друг под другом, вычисление смешивает единицы, десятки и сотни. Так бывает, когда числа записывают не по правому краю или не проверяют положение цифр. Перед вычислением сверь единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями. После этого проверь, что ответ соответствует ожидаемым разрядам.
Забытый перенос при умножении делает результат меньше, потому что часть произведения исчезает из вычисления. Обычно это происходит, когда в разряде получилось больше девяти и записали только последнюю цифру. Сразу отмечай перенос и добавляй его при следующем умножении. Проверка делением или прикидка по разрядам поможет заметить слишком маленький ответ.
Неверная цифра частного приводит к тому, что произведение на делитель либо превышает неполное делимое, либо оставляет возможность выделить ещё одну группу. Иногда цифру выбирают только по таблице умножения, не сравнивая произведение с текущей частью делимого. Перед вычитанием проверь оба условия: произведение не больше неполного делимого, а после вычитания остаток меньше делителя. Если условие не выполняется, цифру нужно изменить.
При делении с остатком недостаточно назвать только остаток или закончить вычисление, не сравнив его с делителем. Если остаток равен делителю или больше него, можно выделить ещё одну группу, значит, частное или вычисления записаны неверно. Записывай ответ вместе с частным и остатком. Для проверки используй равенство делимое = делитель · частное + остаток и отдельно проверь, что остаток меньше делителя.
Для этих вычислений нужны знания о разрядном составе трёхзначных чисел, таблица умножения и деления и понимание связи между умножением и делением. Разложение числа на сотни, десятки и единицы объясняет порядок действий, а знание таблицы помогает быстро находить цифры частного и произведения разрядов. Обратные действия дают способ проверить ответ, а не просто закончить вычисление. Навык записи столбиком пригодится при работе с многозначными числами и при решении составных задач, где несколько действий выполняются последовательно.
Почему при записи столбиком цифры располагают одну под другой?
Так цифры одного разряда оказываются друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками. Это помогает правильно учитывать переносы при умножении и значения разрядов при делении.
Что делать, если при делении текущая часть делимого меньше делителя?
К ней нужно приписать следующую цифру делимого и рассмотреть получившееся число. Если следующей цифры нет, текущая часть и будет остатком.
Как понять, какую цифру частного записать на очередном шаге?
Выбирай наибольшую цифру, произведение которой на делитель не превышает текущее неполное делимое. Затем вычти это произведение и проверь, что остаток меньше делителя.
Почему остаток при делении должен быть меньше делителя?
Если остаток не меньше делителя, из него можно выделить ещё одну целую группу делителя. Значит, деление ещё не завершено или вычисление выполнено неверно.
Как проверить деление с остатком?
Умножь делитель на частное и прибавь остаток. Должно получиться делимое: делимое = делитель · частное + остаток; также проверь, что остаток меньше делителя.
2.32. Умножение и деление трёхзначных чисел
